Comment déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

En utilisant la formule de distance point-droite

Calculer la distance d'un point à une droite dans le plan repéré.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la distance du point $P(1 ; 3)$ à la droite $d : 3x + 4y - 2 = 0$ .

L'objectif

Calculer la distance d'un point à une droite dans le plan repéré.

Le principe

Pour $d : ax + by + c = 0$ et $P(x_P ; y_P)$ , la distance est $d(P, d) = \dfrac{|ax_P + by_P + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .

La méthode

1
J'identifie l'équation $d : ax + by + c = 0$ et les coordonnées du point $P(x_P ; y_P)$ .
2
Je calcule le numérateur $|ax_P + by_P + c|$ .
3
Je calcule le dénominateur $\sqrt{a^2 + b^2}$ et j'obtiens $d(P, d) = \dfrac{|ax_P + by_P + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer la distance du point $P(1 ; 3)$ à la droite $d : 3x + 4y - 2 = 0$ .

Étape 1 —

J'identifie l'équation

d : ax + by + c = 0

et les coordonnées du point

P(x_P ; y_P)

.

$d : 3x + 4y - 2 = 0$ et $P(1 ; 3)$ .

Étape 2 —

Je calcule le numérateur

|ax_P + by_P + c|

.

$|3 \times 1 + 4 \times 3 - 2| = |3 + 12 - 2| = |13| = 13$ .

Étape 3 —

Je calcule le dénominateur

\sqrt{a^2 + b^2}

et j'obtiens

d(P, d) = \dfrac{|ax_P + by_P + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

.

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ . Donc $d(P, d) = \dfrac{13}{5}$ .

$d(P, d) = \dfrac{13}{5}$

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