En résolvant le système droite et perpendiculaire

Calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point $P$ sur une droite $d$ .

L'objectif

Calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point $P$ sur une droite $d$ .

Le principe

Le projeté $H$ est l'intersection de $d$ avec la droite perpendiculaire à $d$ passant par $P$ .

La méthode

1
J'écris l'équation cartésienne de $d : ax + by + c = 0$ et je note le point $P(x_P ; y_P)$ .
2
J'écris l'équation de la perpendiculaire $d'$ à $d$ passant par $P$ : un vecteur directeur de $d$ est $(-b ; a)$ , donc $d'$ a pour vecteur normal $(-b ; a)$ , soit $-b(x - x_P) + a(y - y_P) = 0$ , c'est-à-dire $bx - ay + (ay_P - bx_P) = 0$ .
3
Je résous le système formé par les équations de $d$ et $d'$ pour trouver les coordonnées de $H$ .

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Exercice d'exemple

Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $P(4 ; 1)$ sur la droite $d : x + 2y - 4 = 0$ .

Étape 1 —

J'écris l'équation cartésienne de

d : ax + by + c = 0

et je note le point

P(x_P ; y_P)

$d : x + 2y - 4 = 0$ et $P(4 ; 1)$ .

Étape 2 —

J'écris l'équation de la perpendiculaire

d'

d

passant par

P

: un vecteur directeur de

d

est

(-b ; a)

, donc

d'

a pour vecteur normal

(-b ; a)

, soit

-b(x - x_P) + a(y - y_P) = 0

, c'est-à-dire

bx - ay + (ay_P - bx_P) = 0

La perpendiculaire $d'$ passant par $P$ a pour vecteur normal $(-2 ; 1)$ (vecteur directeur de $d$ ), soit $-2(x - 4) + 1(y - 1) = 0$ , donc $-2x + y + 7 = 0$ , soit $2x - y - 7 = 0$ .

Étape 3 —

Je résous le système formé par les équations de

d

d'

pour trouver les coordonnées de

H

Système : $x + 2y = 4$ et $2x - y = 7$ . De la 2e : $y = 2x - 7$ . On substitue : $x + 2(2x - 7) = 4$ , soit $5x = 18$ , $x = \dfrac{18}{5}$ , $y = \dfrac{36}{5} - 7 = \dfrac{1}{5}$ .

$H\left(\dfrac{18}{5} ; \dfrac{1}{5}\right)$

Application guidée

Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $P(3 ; 5)$ sur la droite $d : 2x - y + 1 = 0$ .

Application autonome 1

Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $P(0 ; 0)$ sur la droite $d : 3x + 4y - 12 = 0$ .

Application autonome 2

Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $P(2\,;7)$ sur la droite $d : x - y - 1 = 0$ .

Application autonome 3

Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $P(1\,;1)$ sur la droite $d : y = 2x$ .

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