En lisant la pente de la tangente sur le graphique

Interpréter le nombre dérivé en contexte à partir d'un graphique ou d'un énoncé.

L'objectif

Interpréter le nombre dérivé en contexte à partir d'un graphique ou d'un énoncé.

Le principe

$f'(a)$ représente la pente de la tangente en $a$ : si $f'(a) > 0$ , $f$ est localement croissante ; si $f'(a) < 0$ , localement décroissante ; si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale.

La méthode

1
Je lis ou calcule $f'(a)$ .
2
J'analyse le signe de $f'(a)$ : positif (croissance locale), négatif (décroissance locale) ou nul (tangente horizontale).
3
J'interprète dans le contexte de l'énoncé : pente géométrique, vitesse instantanée, coût marginal, etc.

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Exercice d'exemple

On sait que $f'(3) = 5$ . Que peut-on dire du comportement de $f$ au voisinage de $x = 3$ ?

Étape 1 —

Je lis ou calcule

f'(a)

$f'(3) = 5$ .

Étape 2 —

J'analyse le signe de

f'(a)

: positif (croissance locale), négatif (décroissance locale) ou nul (tangente horizontale).

$f'(3) > 0$ , donc $f$ est localement croissante au voisinage de $x = 3$ .

Étape 3 —

J'interprète dans le contexte de l'énoncé : pente géométrique, vitesse instantanée, coût marginal, etc.

La tangente à la courbe en $x = 3$ a une pente positive de $5$ : la courbe « monte » avec un coefficient directeur de $5$ .

$f$ est localement croissante au voisinage de $x = 3$ et la tangente a une pente de $5$ .

Application guidée

La position d'un mobile est donnée par $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en secondes). Interpréter $d'(3)$ .

Application autonome 1

Le coût de production de $x$ unités est $C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 100$ (en euros). Interpréter $C'(20)$ .

Application autonome 2

On observe que la tangente à la courbe de $f$ en $x = 2$ est horizontale. Que vaut $f'(2)$ ?

Application autonome 3

Le bénéfice d'une entreprise est $B(q) = -0{,}1q^2 + 20q - 200$ (en milliers d'euros, $q$ quantité vendue). On sait que $B'(50) = 10$ . Interpréter cette valeur.

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