En appliquant $[g(ax+b)]' = a \times g'(ax+b)$

Calculer la dérivée d'une fonction de la forme $x \mapsto g(ax + b)$ .

L'objectif

Calculer la dérivée d'une fonction de la forme $x \mapsto g(ax + b)$ .

Le principe

Si $g$ est dérivable, alors la fonction $x \mapsto g(ax + b)$ a pour dérivée $x \mapsto a \times g'(ax + b)$ .

La méthode

1
J'identifie la fonction extérieure $g$ et l'expression affine intérieure $ax + b$ (je repère $a$ et $b$ ).
2
Je calcule $g'$ , la dérivée de la fonction extérieure.
3
J'applique la formule : $[g(ax+b)]' = a \times g'(ax+b)$ , puis je simplifie.

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x + 3)^4$ .

Étape 1 —

J'identifie la fonction extérieure

g

et l'expression affine intérieure

ax + b

(je repère

a

b

On identifie $g(t) = t^4$ et l'expression affine $2x + 3$ avec $a = 2$ , $b = 3$ .

Étape 2 —

Je calcule

g'

, la dérivée de la fonction extérieure.

On calcule $g'(t) = 4t^3$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

[g(ax+b)]' = a \times g'(ax+b)

, puis je simplifie.

On applique : $f'(x) = 2 \times 4(2x + 3)^3 = 8(2x + 3)^3$ .

$f'(x) = 8(2x + 3)^3$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \sqrt{3x - 1}$ sur $\left]\frac{1}{3}\,;+\infty\right[$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ sur $\left]-\frac{2}{5}\,;+\infty\right[$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = (-x + 4)^3$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = (4 - 3x)^5$ sur $\mathbb{R}$ .

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