En décomposant l'expression et en appliquant les règles successivement

Dériver une expression complexe en combinant plusieurs règles de dérivation.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x + 1)^3(x - 4)$ .

L'objectif

Dériver une expression complexe en combinant plusieurs règles de dérivation.

Le principe

On identifie l'opération principale (la dernière effectuée lors du calcul de $f(x)$ ) et on applique la règle correspondante, en dérivant récursivement les sous-expressions.

La méthode

1
J'identifie l'opération principale de l'expression (somme, produit, quotient ou composée).
2
J'applique la règle de dérivation associée à cette opération principale.
3
Je dérive les sous-expressions internes en utilisant les règles adaptées (somme, produit, composée...).
4
Je développe, réduis et simplifie l'expression finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x + 1)^3(x - 4)$ .

Étape 1 —

J'identifie l'opération principale de l'expression (somme, produit, quotient ou composée).

L'opération principale est un produit : $u(x) = (2x+1)^3$ et $v(x) = x - 4$ .

Étape 2 —

J'applique la règle de dérivation associée à cette opération principale.

On applique $(uv)' = u'v + uv'$ .

Étape 3 —

Je dérive les sous-expressions internes en utilisant les règles adaptées (somme, produit, composée...).

On dérive $u$ par composée : $u'(x) = 2 \times 3(2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$ , et $v'(x) = 1$ .

Étape 4 —

Je développe, réduis et simplifie l'expression finale.

$f'(x) = 6(2x+1)^2(x-4) + (2x+1)^3 = (2x+1)^2[6(x-4) + (2x+1)] = (2x+1)^2(8x - 23)$ .

$f'(x) = (2x+1)^2(8x - 23)$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{(3x-2)^2}{x+1}$ sur $]-1\,;+\infty[$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = x^2(3x - 1)^4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{x}{(2x+1)^2}$ sur $\left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

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