Comment représenter… : Construire la toile d'araignée pour… — maths complémentaires | MetMat

Comment représenter graphiquement une suite récurrente et conjecturer sa limite ?

Construire la toile d'araignée pour conjecturer la limite

Visualiser graphiquement le comportement d'une suite récurrente et conjecturer sa limite à partir de la toile d'araignée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$ . Décrire la construction de la toile d'araignée et conjecturer la limite.

L'objectif

Visualiser graphiquement le comportement d'une suite récurrente et conjecturer sa limite à partir de la toile d'araignée.

Le principe

Les intersections de la courbe $y = f(x)$ avec la droite $y = x$ sont les points fixes (limites potentielles) ; la toile d'araignée montre si la suite converge vers l'un d'eux.

La méthode

1
Tracer dans un repère la droite $y = x$ et la courbe représentative de $y = f(x)$ . Repérer les points d'intersection, qui sont les solutions de $f(x) = x$ (points fixes, limites potentielles).
2
Partir du point $(u_0, 0)$ . Monter verticalement jusqu'à la courbe pour atteindre $(u_0, f(u_0)) = (u_0, u_1)$ , puis se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y = x$ pour obtenir $(u_1, u_1)$ .
3
Répéter l'opération en montant à la courbe puis revenant à la diagonale. Observer si la suite semble converger vers un point fixe (toile se resserre) ou diverger (toile s'éloigne), et conjecturer la limite.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$ . Décrire la construction de la toile d'araignée et conjecturer la limite.

Étape 1 —

Tracer dans un repère la droite

y = x

et la courbe représentative de

y = f(x)

. Repérer les points d'intersection, qui sont les solutions de

f(x) = x

(points fixes, limites potentielles).

On trace $y = x$ et $y = \frac{1}{2}x + 2$ . L'intersection est $x = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow x = 4$ . Le point fixe est $\ell = 4$ .

Étape 2 —

Partir du point

(u_0, 0)

. Monter verticalement jusqu'à la courbe pour atteindre

(u_0, f(u_0)) = (u_0, u_1)

, puis se déplacer horizontalement jusqu'à la droite

y = x

pour obtenir

(u_1, u_1)

On part de $u_0 = 0$ : on monte à la courbe en $(0, 2)$ , puis on va à la diagonale en $(2, 2)$ pour obtenir $u_1 = 2$ . On monte à la courbe en $(2, 3)$ , puis à la diagonale en $(3, 3)$ pour $u_2 = 3$ .

Étape 3 —

Répéter l'opération en montant à la courbe puis revenant à la diagonale. Observer si la suite semble converger vers un point fixe (toile se resserre) ou diverger (toile s'éloigne), et conjecturer la limite.

La toile se resserre vers le point $(4, 4)$ . On conjecture que $\lim u_n = 4$ .

La suite semble converger vers $\ell = 4$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.