Comment déterminer un seuil… : Déterminer un seuil par résolution… — maths complémentaires | MetMat

Comment déterminer un seuil pour une suite géométrique ?

Déterminer un seuil par résolution analytique avec le logarithme

Trouver le rang $n$ à partir duquel une suite géométrique franchit un seuil, en utilisant les logarithmes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

À partir de quel rang la suite $u_n = 3 \times 2^n$ dépasse-t-elle 1000 ?

L'objectif

Trouver le rang $n$ à partir duquel une suite géométrique franchit un seuil, en utilisant les logarithmes.

Le principe

On applique $\ln$ à l'inéquation pour linéariser l'exposant : $\ln(q^n) = n \ln q$ , en faisant attention au sens de l'inégalité selon le signe de $\ln q$ .

La méthode

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Écrire l'inéquation à résoudre sous la forme $u_0 q^n \geq S$ (ou $\leq S$ ) et isoler $q^n$ .
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Appliquer le logarithme : $n \ln q \geq \ln\left(\dfrac{S}{u_0}\right)$ . Attention : si $\ln q < 0$ (i.e. $0 < q < 1$ ), l'inégalité se renverse lorsqu'on divise par $\ln q$ .
Comment utiliser $\ln(q^n)=n\ln q$ pour déterminer un seuil ?Voir
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Conclure en prenant le plus petit entier $n$ vérifiant l'inégalité (partie entière + 1 si nécessaire), et vérifier.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

À partir de quel rang la suite $u_n = 3 \times 2^n$ dépasse-t-elle 1000 ?

Étape 1 —

Écrire l'inéquation à résoudre sous la forme

u_0 q^n \geq S

(ou

\leq S

) et isoler

q^n

On résout $3 \times 2^n \geq 1000$ , soit $2^n \geq \dfrac{1000}{3}$ .

Étape 2 —

Appliquer le logarithme :

n \ln q \geq \ln\left(\dfrac{S}{u_0}\right)

. Attention : si

\ln q < 0

(i.e.

0 < q < 1

), l'inégalité se renverse lorsqu'on divise par

\ln q

On applique $\ln$ (croissant, $\ln 2 > 0$ ) : $n \ln 2 \geq \ln\left(\dfrac{1000}{3}\right)$ , donc $n \geq \dfrac{\ln(1000/3)}{\ln 2} = \dfrac{\ln 1000 - \ln 3}{\ln 2} \approx \dfrac{5{,}809}{0{,}693} \approx 8{,}38$ .

Étape 3 —

Conclure en prenant le plus petit entier

n

vérifiant l'inégalité (partie entière + 1 si nécessaire), et vérifier.

Le plus petit entier est $n = 9$ . Vérification : $u_9 = 3 \times 512 = 1536 > 1000$ ✓ ; $u_8 = 3 \times 256 = 768 < 1000$ ✓.

À partir de $n = 9$ .

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