Comment résoudre une suite… : Résoudre une suite arithmético-géométr… — maths complémentaires | MetMat

Comment résoudre une suite arithmético-géométrique ?

Résoudre une suite arithmético-géométrique par changement de variable

Exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = au_n + b$ en se ramenant à une suite géométrique.

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Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$ . Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

L'objectif

Exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = au_n + b$ en se ramenant à une suite géométrique.

Le principe

La suite $v_n = u_n - \ell$ , où $\ell = \frac{b}{1-a}$ est la solution constante de $\ell = a\ell + b$ , est une suite géométrique de raison $a$ .

La méthode

1
Chercher la solution constante $\ell$ en résolvant $\ell = a\ell + b$ , ce qui donne $\ell = \dfrac{b}{1-a}$ .
2
Poser $v_n = u_n - \ell$ . Montrer que $v_n$ est géométrique de raison $a$ : $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = au_n + b - \ell = a(u_n - \ell) = av_n$ .
3
Exprimer $v_n = v_0 \cdot a^n$ avec $v_0 = u_0 - \ell$ , puis en déduire $u_n = v_n + \ell = (u_0 - \ell) a^n + \ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$ . Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

Étape 1 —

Chercher la solution constante

\ell

en résolvant

\ell = a\ell + b

, ce qui donne

\ell = \dfrac{b}{1-a}

On cherche $\ell$ tel que $\ell = 2\ell - 3$ , soit $-\ell = -3$ , donc $\ell = 3$ .

Étape 2 —

Poser

v_n = u_n - \ell

. Montrer que

v_n

est géométrique de raison

a

v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = au_n + b - \ell = a(u_n - \ell) = av_n

On pose $v_n = u_n - 3$ . Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 2u_n - 3 - 3 = 2(u_n - 3) = 2v_n$ . Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 2.

Étape 3 —

Exprimer

v_n = v_0 \cdot a^n

avec

v_0 = u_0 - \ell

, puis en déduire

u_n = v_n + \ell = (u_0 - \ell) a^n + \ell

$v_0 = u_0 - 3 = 5 - 3 = 2$ , donc $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ . On conclut : $u_n = 2^{n+1} + 3$ .

$u_n = 2^{n+1} + 3$ .

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