Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Calculer la somme infinie d'une série géométrique convergente

Calculer la valeur exacte vers laquelle converge la somme de tous les termes d'une suite géométrique quand $|q| < 1$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ (somme infinie).

L'objectif

Calculer la valeur exacte vers laquelle converge la somme de tous les termes d'une suite géométrique quand $|q| < 1$ .

Le principe

Lorsque $|q| < 1$ , la somme infinie $\sum_{k=0}^{+\infty} u_0 q^k$ converge et vaut $\dfrac{u_0}{1-q}$ , car $q^n \to 0$ .

La méthode

1
Vérifier que $|q| < 1$ (condition nécessaire pour que la somme infinie existe).
2
Écrire la somme partielle $S_n = u_0 \dfrac{1-q^n}{1-q}$ et passer à la limite : comme $q^n \to 0$ , on obtient $S = \dfrac{u_0}{1-q}$ .
3
Calculer la valeur numérique et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ (somme infinie).

Étape 1 —

Vérifier que

|q| < 1

(condition nécessaire pour que la somme infinie existe).

La suite est géométrique avec $u_0 = 1$ et $q = \frac{1}{2}$ . Comme $|q| = \frac{1}{2} < 1$ , la somme infinie converge.

Étape 2 —

Écrire la somme partielle

S_n = u_0 \dfrac{1-q^n}{1-q}

et passer à la limite : comme

q^n \to 0

, on obtient

S = \dfrac{u_0}{1-q}

.

$S = \dfrac{u_0}{1-q} = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ .

Étape 3 —

Calculer la valeur numérique et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

La somme de tous les termes est exactement 2.

$S = 2$ .

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