Comment déterminer la limite… : Déterminer la limite d'une suite… — maths complémentaires | MetMat

Comment déterminer la limite d'une suite géométrique ?

Déterminer la limite d'une suite géométrique

Déterminer la limite d'une suite géométrique $u_n = u_0 \, q^n$ selon la valeur de $q$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la limite de $u_n = 5 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n$ .

L'objectif

Déterminer la limite d'une suite géométrique $u_n = u_0 \, q^n$ selon la valeur de $q$ .

Le principe

La limite de $q^n$ dépend uniquement de la valeur de $q$ : si $|q| < 1$ alors $q^n \to 0$ ; si $q > 1$ alors $q^n \to +\infty$ ; si $q \leq -1$ , la suite n'a pas de limite.

La méthode

1
Écrire la suite sous la forme $u_n = u_0 \, q^n$ et identifier la raison $q$ et le signe de $u_0$ .
2
Appliquer le tableau des limites : $|q|<1 \Rightarrow \lim q^n = 0$ ; $q>1 \Rightarrow \lim q^n = +\infty$ ; $q=1 \Rightarrow q^n = 1$ (constante) ; $q \leq -1 \Rightarrow$ pas de limite.
3
Conclure sur la limite de $u_n = u_0 \, q^n$ en tenant compte du signe de $u_0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer la limite de $u_n = 5 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n$ .

Étape 1 —

Écrire la suite sous la forme

u_n = u_0 \, q^n

et identifier la raison

q

et le signe de

u_0

La suite est géométrique avec $u_0 = 5$ et $q = \frac{1}{3}$ .

Étape 2 —

Appliquer le tableau des limites :

|q|<1 \Rightarrow \lim q^n = 0

;

q>1 \Rightarrow \lim q^n = +\infty

;

q=1 \Rightarrow q^n = 1

(constante) ;

q \leq -1 \Rightarrow

pas de limite.

Comme $|q| = \frac{1}{3} < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$ .

Étape 3 —

Conclure sur la limite de

u_n = u_0 \, q^n

en tenant compte du signe de

u_0

Donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 5 \times 0 = 0$ .

$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ .

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