Comment modéliser un… : Identifier la nature de la suite et… — maths complémentaires | MetMat

Comment modéliser un phénomène discret par une suite ?

Identifier la nature de la suite et poser le modèle

Traduire un phénomène discret en une suite mathématique en choisissant le modèle approprié.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une population de bactéries compte 200 individus au temps $n=0$ et double chaque heure. Modéliser par une suite.

L'objectif

Traduire un phénomène discret en une suite mathématique en choisissant le modèle approprié.

Le principe

On analyse la variation entre termes consécutifs : différence constante → arithmétique, rapport constant → géométrique, relation affine $u_{n+1} = au_n + b$ → arithmético-géométrique.

La méthode

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Calculer $u_{n+1} - u_n$ (différence) et $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (rapport) pour quelques termes consécutifs.
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Si la différence est constante $r$ , la suite est arithmétique : $u_n = u_0 + nr$ . Si le rapport est constant $q$ , la suite est géométrique : $u_n = u_0 \, q^n$ . Si $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \neq 1$ et $b \neq 0$ , la suite est arithmético-géométrique.
Comment résoudre une suite arithmético-géométrique ?Voir
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Écrire explicitement la formule du terme général et vérifier qu'elle est cohérente avec les données du problème.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Une population de bactéries compte 200 individus au temps $n=0$ et double chaque heure. Modéliser par une suite.

Étape 1 —

Calculer

u_{n+1} - u_n

(différence) et

\frac{u_{n+1}}{u_n}

(rapport) pour quelques termes consécutifs.

Le rapport entre deux termes consécutifs est $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 2$ (constant).

Étape 2 —

Si la différence est constante

r

, la suite est arithmétique :

u_n = u_0 + nr

. Si le rapport est constant

q

, la suite est géométrique :

u_n = u_0 \, q^n

. Si

u_{n+1} = au_n + b

avec

a \neq 1

b \neq 0

, la suite est arithmético-géométrique.

La suite est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0 = 200$ . La formule est $u_n = 200 \times 2^n$ .

Étape 3 —

Écrire explicitement la formule du terme général et vérifier qu'elle est cohérente avec les données du problème.

Vérification : $u_1 = 400$ , $u_2 = 800$ ✓. Après $n$ heures, la population est $u_n = 200 \times 2^n$ .

$u_n = 200 \times 2^n$ .

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