Comment étudier les… : Étudier les variations d'une fonction… — maths complémentaires | MetMat

Comment étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$ ?

Étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$

Déterminer le sens de variation d'une fonction contenant $\ln$ et dresser son tableau de variations.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les variations de $f(x) = \ln(x) - x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une fonction contenant $\ln$ et dresser son tableau de variations.

Le principe

Pour étudier les variations d'une fonction $f$ contenant $\ln u$ , il faut d'abord imposer $u > 0$ pour le domaine, puis calculer et signer $f'$ grâce à $(\ln u)' = u'/u$ .

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition $D_f$ en imposant que tous les arguments des $\ln$ présents dans $f$ soient strictement positifs.
2
Calculer $f'(x)$ sur $D_f$ en appliquant $(\ln u)' = u'/u$ et les règles de dérivation (produit, quotient, somme).
Comment calculer la dérivée d'une expression contenant $\ln$ ?Voir
3
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $D_f$ : factoriser si nécessaire, identifier les racines ou les valeurs où $f'$ s'annule ou change de signe.
4
Dresser le tableau de variations de $f$ en indiquant les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les extrema éventuels.
Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = \ln(x) - x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Étape 1 —

Déterminer le domaine de définition

D_f

en imposant que tous les arguments des

\ln

présents dans

f

soient strictement positifs.

$f$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ car il faut $x > 0$ .

Étape 2 —

Calculer

f'(x)

sur

D_f

en appliquant

(\ln u)' = u'/u

et les règles de dérivation (produit, quotient, somme).

$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1-x}{x}$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de

f'(x)

sur

D_f

: factoriser si nécessaire, identifier les racines ou les valeurs où

f'

s'annule ou change de signe.

Sur $]0 ; +\infty[$ , $x > 0$ donc le signe de $f'$ est celui de $1-x$ : $f'(x) > 0$ si $x \in ]0;1[$ , $f'(1) = 0$ , $f'(x) < 0$ si $x \in ]1 ; +\infty[$ .

Étape 4 —

Dresser le tableau de variations de

f

en indiquant les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les extrema éventuels.

$f$ est croissante sur $]0;1[$ , admet un maximum en $x=1$ avec $f(1) = 0$ , puis décroissante sur $]1;+\infty[$ .

$f$ est croissante sur $]0;1[$ , atteint le maximum $f(1) = 0$ , puis décroissante sur $]1;+\infty[$ .

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