Comment utiliser $\ln(q^n)=n\ln q$ pour déterminer un seuil ? | MetMat

Comment utiliser $\ln(q^n)=n\ln q$ pour déterminer un seuil ?

Déterminer un seuil avec $\ln(q^n) = n\ln q$

Trouver le plus petit entier $n$ à partir duquel $q^n$ dépasse (ou reste en dessous de) un seuil $k$ donné.

L'objectif

Trouver le plus petit entier $n$ à partir duquel $q^n$ dépasse (ou reste en dessous de) un seuil $k$ donné.

Le principe

La propriété $\ln(q^n) = n\ln q$ permet de linéariser une inéquation exponentielle ; le sens de l'inégalité dépend du signe de $\ln q$ .

La méthode

1
Appliquer $\ln$ aux deux membres de l'inéquation $q^n > k$ (avec $q > 0$ , $k > 0$ ) : on obtient $n\ln q > \ln k$ .
2
Diviser par $\ln q$ en vérifiant son signe : si $\ln q > 0$ (i.e. $q > 1$ ), le sens est conservé ; si $\ln q < 0$ (i.e. $0 < q < 1$ ), le sens s'inverse.
3
Conclure en donnant le plus petit entier $n$ satisfaisant l'inégalité, en calculant $\dfrac{\ln k}{\ln q}$ numériquement si nécessaire.

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Exercice d'exemple

Trouver le plus petit entier $n$ tel que $2^n > 1000$ .

Étape 1 —

Appliquer

\ln

aux deux membres de l'inéquation

q^n > k

(avec

q > 0

k > 0

) : on obtient

n\ln q > \ln k

On applique $\ln$ : $\ln(2^n) > \ln(1000)$ , soit $n\ln(2) > \ln(1000)$ .

Étape 2 —

Diviser par

\ln q

en vérifiant son signe : si

\ln q > 0

(i.e.

q > 1

), le sens est conservé ; si

\ln q < 0

(i.e.

0 < q < 1

), le sens s'inverse.

$\ln(2) > 0$ donc on divise sans changer le sens : $n > \dfrac{\ln(1000)}{\ln(2)} = \dfrac{3\ln(10)}{\ln(2)} \approx \dfrac{6{,}908}{0{,}693} \approx 9{,}97$ .

Étape 3 —

Conclure en donnant le plus petit entier

n

satisfaisant l'inégalité, en calculant

\dfrac{\ln k}{\ln q}

numériquement si nécessaire.

Le plus petit entier strictement supérieur à $9{,}97$ est $n = 10$ .

$n = 10$

Application guidée

Trouver le plus petit entier $n$ tel que $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n < 0{,}01$ .

Application autonome 1

À partir de quel rang $n$ a-t-on $1{,}05^n \geq 2$ ?

Application autonome 2

Un capital de $1000$ \text{€} est placé au taux annuel de $3\,\%$ . À partir de quelle année $n$ le capital dépasse-t-il $1500$ \text{€} ?

Application autonome 3

Une population de $20\,000$ individus décroît chaque année de $4\,\%$ . À partir de quelle année $n$ la population passe-t-elle sous $12\,000$ ?

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Déterminer un seuil avec ln⁡(qn)=nln⁡q\ln(q^n) = n\ln qln(qn)=nlnq

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Déterminer un seuil avec $\ln(q^n) = n\ln q$