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Comment estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo ?

Estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo

Estimer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ (ou une aire) en simulant des points aléatoires dans un rectangle englobant.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On utilise la méthode de Monte-Carlo pour estimer $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ avec le rectangle $[0,1]\times[0,1]$ . Sur $N = 1000$ points, $k = 336$ tombent sous la courbe. Donner l'estimation.

L'objectif

Estimer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ (ou une aire) en simulant des points aléatoires dans un rectangle englobant.

Le principe

La proportion de points tombant sous la courbe converge vers le rapport aire sous la courbe / aire du rectangle, donc vers $\frac{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}{M(b-a)}$ .

La méthode

1
Choisir un rectangle $[a,b]\times[0,M]$ qui englobe entièrement la courbe ( $M \geq \max_{[a,b]} f$ ).
2
Tirer $N$ points $(x_i, y_i)$ avec $x_i$ uniforme sur $[a,b]$ et $y_i$ uniforme sur $[0,M]$ . Compter le nombre $k$ de points vérifiant $y_i \leq f(x_i)$ (points « sous la courbe »).
3
Estimer l'aire (ou l'intégrale) par $\mathcal{A} \approx M(b-a)\times\dfrac{k}{N}$ . Plus $N$ est grand, meilleure est l'estimation.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On utilise la méthode de Monte-Carlo pour estimer $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ avec le rectangle $[0,1]\times[0,1]$ . Sur $N = 1000$ points, $k = 336$ tombent sous la courbe. Donner l'estimation.

Étape 1 —

Choisir un rectangle

[a,b]\times[0,M]

qui englobe entièrement la courbe (

M \geq \max_{[a,b]} f

Rectangle englobant : $[0,1]\times[0,1]$ , aire $= 1$ . On a $f(x) = x^2 \leq 1$ sur $[0,1]$ , donc $M = 1$ convient.

Étape 2 —

Tirer

N

points

(x_i, y_i)

avec

x_i

uniforme sur

[a,b]

y_i

uniforme sur

[0,M]

. Compter le nombre

k

de points vérifiant

y_i \leq f(x_i)

(points « sous la courbe »).

Sur $N = 1000$ points, $k = 336$ vérifient $y_i \leq x_i^2$ .

Étape 3 —

Estimer l'aire (ou l'intégrale) par

\mathcal{A} \approx M(b-a)\times\dfrac{k}{N}

. Plus

N

est grand, meilleure est l'estimation.

$\mathcal{A} \approx 1 \times 1 \times \frac{336}{1000} = 0{,}336$ . La valeur exacte est $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$ .

$\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \approx 0{,}336$

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