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Comment approcher une intégrale par la méthode des rectangles ?

Approcher une intégrale par la méthode des rectangles

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Approcher $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles à gauche avec $n = 4$ .

La méthode

1
Calculer le pas $h = \dfrac{b-a}{n}$ et les abscisses $x_i = a + i \cdot h$ pour $i = 0, 1, \ldots, n-1$ (rectangles à gauche) ou $i = 1, \ldots, n$ (rectangles à droite).
2
Calculer la somme $S = h\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$ (méthode à gauche) ou $S = h\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)$ (méthode à droite).
3
La valeur $S$ est une approximation de $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ ; plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Approcher $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles à gauche avec $n = 4$ .

$h = \frac{1-0}{4} = 0{,}25$ . Les abscisses à gauche sont $x_0 = 0$ , $x_1 = 0{,}25$ , $x_2 = 0{,}5$ , $x_3 = 0{,}75$ .

$S = 0{,}25\times(f(0)+f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75)) = 0{,}25\times(0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625) = 0{,}25\times 0{,}875 = 0{,}21875$ .

La valeur exacte est $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$ ; l'approximation $0{,}219$ est inférieure car $f$ est croissante (les rectangles à gauche sous-estiment).

$S \approx 0{,}219$ (valeur exacte $\frac{1}{3}$ )

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