Comment calculer la valeur… : Calculer la valeur moyenne d'une… — maths complémentaires | MetMat

Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction sur $[a,b]$ ?

Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ à l'aide de la formule intégrale.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ .

L'objectif

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ à l'aide de la formule intégrale.

Le principe

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\bar{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ , l'intervalle $[a,b]$ et calculer la longueur $b - a$ .
2
Calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une primitive.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
3
Diviser le résultat par $(b-a)$ pour obtenir $\bar{f}$ , et interpréter si le contexte le demande (température moyenne, vitesse moyenne, etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

, l'intervalle

[a,b]

et calculer la longueur

b - a

$b - a = 3 - 0 = 3$ .

Étape 2 —

Calculer

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

à l'aide d'une primitive.

$\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9$ .

Étape 3 —

Diviser le résultat par

(b-a)

pour obtenir

\bar{f}

, et interpréter si le contexte le demande (température moyenne, vitesse moyenne, etc.).

$\bar{f} = \frac{9}{3} = 3$ .

$\bar{f} = 3$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction sur [a,b][a,b][a,b] ?

Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction sur $[a,b]$ ?