Calculer une intégrale par une primitive

Calculer la valeur exacte de $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ à partir d'une primitive de $f$ .

L'objectif

Calculer la valeur exacte de $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ à partir d'une primitive de $f$ .

Le principe

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ .

La méthode

1
Identifier la forme de $f(x)$ parmi les primitives connues : puissance, exponentielle, logarithme, ou forme composée $u'e^u$ , $u'/u$ , $2uu'$ , $u'f(u)$ .
2
Écrire une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $[a,b]$ (sans constante d'intégration).
3
Calculer $F(b) - F(a)$ et simplifier pour obtenir la valeur exacte de l'intégrale.

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Exercice d'exemple

Calculer $\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Identifier la forme de

f(x)

parmi les primitives connues : puissance, exponentielle, logarithme, ou forme composée

u'e^u

u'/u

2uu'

u'f(u)

$f(x) = 2x + 1$ est un polynôme ; ses primitives sont de la forme $F(x) = x^2 + x + C$ .

Étape 2 —

Écrire une primitive

F

f

sur l'intervalle

[a,b]

(sans constante d'intégration).

On choisit $F(x) = x^2 + x$ .

Étape 3 —

Calculer

F(b) - F(a)

et simplifier pour obtenir la valeur exacte de l'intégrale.

$F(3) - F(1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$ .

$\int_1^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x = 10$

Application guidée

Calculer $\int_0^2 e^{3x}\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 1

Calculer $\int_1^e \frac{2}{x}\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 2

Calculer $\int_0^1 x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 3

Calculer $\int_0^2 3x^2\sqrt{x^3+1}\,\mathrm{d}x$ .

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