Utiliser l'absence de mémoire… : Probabilité conditionnelle par… — maths complémentaires | MetMat

Utiliser l'absence de mémoire de la loi exponentielle

Probabilité conditionnelle par absence de mémoire

Calculer une probabilité conditionnelle de durée de vie restante en utilisant le fait que la loi exponentielle « ne se souvient pas du passé ».

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La durée de vie $X$ (en années) d'un équipement industriel suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ . Sachant qu'il fonctionne depuis $3$ ans, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $2$ ans ?

L'objectif

Calculer une probabilité conditionnelle de durée de vie restante en utilisant le fait que la loi exponentielle « ne se souvient pas du passé ».

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , alors pour tous $s, t \geq 0$ : $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ .

La méthode

1
Identifier la situation : on sait que l'événement a déjà duré $s$ unités de temps ( $X > s$ ), et on veut la probabilité qu'il dure encore au moins $t$ unités.
2
Appliquer l'absence de mémoire : $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ , ce qui revient à « remettre le compteur à zéro ».
3
Calculer $e^{-\lambda t}$ avec la valeur numérique de $t$ et $\lambda$ , et donner la réponse sous forme exacte.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier la situation : on sait que l'événement a déjà duré

s

unités de temps (

X > s

), et on veut la probabilité qu'il dure encore au moins

t

unités.

On est dans la situation $s = 3$ , $t = 2$ : on veut $P(X > 3+2 \mid X > 3) = P(X > 5 \mid X > 3)$ .

Étape 2 —

Appliquer l'absence de mémoire :

P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}

, ce qui revient à « remettre le compteur à zéro ».

Par absence de mémoire : $P(X > 5 \mid X > 3) = P(X > 2) = e^{-0{,}2 \times 2}$ .

Étape 3 —

Calculer

e^{-\lambda t}

avec la valeur numérique de

t

\lambda

, et donner la réponse sous forme exacte.

$P(X > 2) = e^{-0{,}4}$ .

$P(X > 5 \mid X > 3) = e^{-0{,}4}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.