Probabilité avec la fonction de répartition exponentielle

Calculer la probabilité qu'une variable exponentielle de paramètre $\lambda$ appartienne à un intervalle donné.

L'objectif

Calculer la probabilité qu'une variable exponentielle de paramètre $\lambda$ appartienne à un intervalle donné.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , la fonction de répartition est $F(t) = P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$ pour $t \geq 0$ .

La méthode

1
Identifier le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle et les bornes $a$ , $b$ de l'intervalle demandé (avec $a \geq 0$ ).
2
Exprimer la probabilité à l'aide de la fonction de répartition : $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = (1 - e^{-\lambda b}) - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ .
3
Pour $P(X > t)$ , utiliser directement $P(X > t) = 1 - F(t) = e^{-\lambda t}$ . Donner la valeur exacte sous forme d'exponentielle.

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Exercice d'exemple

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ . Calculer $P(X > 2)$ .

Étape 1 —

Identifier le paramètre

\lambda

de la loi exponentielle et les bornes

a

b

de l'intervalle demandé (avec

a \geq 0

On a $\lambda = 0{,}5$ , et on cherche $P(X > 2)$ , donc $a = 2$ , $b = +\infty$ .

Étape 2 —

Exprimer la probabilité à l'aide de la fonction de répartition :

P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = (1 - e^{-\lambda b}) - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

Pour $P(X > t)$ , on applique directement $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ (cas $b = +\infty$ ).

Étape 3 —

Pour

P(X > t)

, utiliser directement

P(X > t) = 1 - F(t) = e^{-\lambda t}

. Donner la valeur exacte sous forme d'exponentielle.

$P(X > 2) = e^{-0{,}5 \times 2} = e^{-1}$ .

$P(X > 2) = e^{-1}$ .

Application guidée

Le temps d'attente $X$ (en minutes) à un guichet suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2$ . Calculer $P(1 \leq X \leq 3)$ .

Application autonome 1

La durée de vie $X$ (en heures) d'une batterie suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{10}$ . Calculer $P(X \leq 5)$ .

Application autonome 2

Le temps de désintégration $X$ (en secondes) d'un atome radioactif suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 3$ . Calculer $P(X \leq 1)$ .

Application autonome 3

La durée entre deux appels dans un centre médical suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{4}$ (en minutes). Calculer $P(2 \leq X \leq 6)$ .

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