Calculer une probabilité avec… : Probabilité avec la fonction de… — maths complémentaires | MetMat

Calculer une probabilité avec une loi exponentielle

Probabilité avec la fonction de répartition exponentielle

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ . Calculer $P(X > 2)$ .

La méthode

1
Identifier le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle et les bornes $a$ , $b$ de l'intervalle demandé (avec $a \geq 0$ ).
2
Exprimer la probabilité à l'aide de la fonction de répartition : $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = (1 - e^{-\lambda b}) - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ .
3
Pour $P(X > t)$ , utiliser directement $P(X > t) = 1 - F(t) = e^{-\lambda t}$ . Donner la valeur exacte sous forme d'exponentielle.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ . Calculer $P(X > 2)$ .

On a $\lambda = 0{,}5$ , et on cherche $P(X > 2)$ , donc $a = 2$ , $b = +\infty$ .

Pour $P(X > t)$ , on applique directement $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ (cas $b = +\infty$ ).

$P(X > 2) = e^{-0{,}5 \times 2} = e^{-1}$ .

$P(X > 2) = e^{-1}$ .

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