Comment calculer le surplus du producteur graphiquement ? | MetMat

Comment calculer le surplus du producteur graphiquement ?

En calculant l'aire au-dessus de la courbe d'offre et sous le prix de marché : $\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \int_0^{\tilde{p}} q^*(p)\,\mathrm{d}p$

Calculer le surplus du producteur $\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \Pi(\tilde{p}, q^*(\tilde{p}))$ pour un prix de marché $\tilde{p}$ donné, et l'interpréter graphiquement.

L'objectif

Calculer le surplus du producteur $\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \Pi(\tilde{p}, q^*(\tilde{p}))$ pour un prix de marché $\tilde{p}$ donné, et l'interpréter graphiquement.

Le principe

Le surplus du producteur est l'aire au-dessus de la courbe d'offre et sous le prix de marché : $\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \int_0^{\tilde{p}} q^*(p)\,\mathrm{d}p = \tilde{p} \cdot q^*(\tilde{p}) - C(q^*(\tilde{p}))$ , car chaque augmentation de prix $dp$ sur les $q^*(p)$ unités déjà produites augmente le surplus de $q^*(p)\,dp$ .

La méthode

1
Identifier la fonction d'offre $q^*(p)$ (nulle pour $p < \bar{C}_{\min}$ , puis croissante au-dessus). Pour $\tilde{p} < \bar{C}_{\min}$ , $\mathrm{SP} = 0$ .
2
Pour $\tilde{p} \geq \bar{C}_{\min}$ , calculer $\mathrm{SP}(\tilde{p})$ par l'une des deux méthodes équivalentes : (a) Intégration : $\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \int_{\bar{C}_{\min}}^{\tilde{p}} q^*(p)\,\mathrm{d}p$ (en tenant compte que $q^* = 0$ sous $\bar{C}_{\min}$ ). (b) Calcul direct du profit : $\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \Pi(\tilde{p}, q^*) = \tilde{p} \cdot q^*(\tilde{p}) - C(q^*(\tilde{p}))$ .
3
Interpréter graphiquement : tracer la courbe d'offre dans le plan $(q, p)$ , et identifier la surface colorée délimitée par la courbe d'offre à gauche, l'axe des prix à droite, le prix $\tilde{p}$ en haut et l'axe des quantités en bas.
4
Vérifier la cohérence : le surplus augmente avec le prix ( $\mathrm{SP}'(\tilde{p}) = q^*(\tilde{p}) \geq 0$ ) et est nul pour $\tilde{p} = \bar{C}_{\min}$ (la firme est indifférente entre ouvrir et ne pas ouvrir).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer le surplus de la boulangerie ( $q^*(p) = 5p$ pour $p \geq 4{,}47$ €) à $\tilde{p} = 6$ €.

Étape 1 —

Identifier la fonction d'offre

q^*(p)

(nulle pour

p < \bar{C}_{\min}

, puis croissante au-dessus). Pour

\tilde{p} < \bar{C}_{\min}

\mathrm{SP} = 0

$q^*(6) = 5 \times 6 = 30$ baguettes. $\tilde{p} = 6 > \bar{C}_{\min} \approx 4{,}47$ €.

Étape 2 —

Pour

\tilde{p} \geq \bar{C}_{\min}

, calculer

\mathrm{SP}(\tilde{p})

par l'une des deux méthodes équivalentes : (a) Intégration :

\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \int_{\bar{C}_{\min}}^{\tilde{p}} q^*(p)\,\mathrm{d}p

(en tenant compte que

q^* = 0

sous

\bar{C}_{\min}

). (b) Calcul direct du profit :

\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \Pi(\tilde{p}, q^*) = \tilde{p} \cdot q^*(\tilde{p}) - C(q^*(\tilde{p}))

Méthode intégrale : $\mathrm{SP}(6) = \int_{4{,}47}^{6} 5p\,\mathrm{d}p = 5 \cdot [p^2/2]_{4{,}47}^{6} = 5 \cdot (18 - 9{,}99) = 5 \times 8{,}01 \approx 40{,}1$ €. Méthode profit : $\mathrm{SP}(6) = 6 \times 30 - 50 - 900/10 = 180 - 50 - 90 = 40$ €.

Étape 3 —

Interpréter graphiquement : tracer la courbe d'offre dans le plan

(q, p)

, et identifier la surface colorée délimitée par la courbe d'offre à gauche, l'axe des prix à droite, le prix

\tilde{p}

en haut et l'axe des quantités en bas.

Graphiquement : l'aire du triangle au-dessus de la droite $c(q) = q/5$ (traduit en plan $(q,p)$ ) et sous $p = 6$ , à droite de $q = 0$ . C'est approximativement un triangle de base 30 et de hauteur $(6 - 4{,}47)/2 \approx ...$ , mais le calcul direct donne 40 €.

Étape 4 —

Vérifier la cohérence : le surplus augmente avec le prix (

\mathrm{SP}'(\tilde{p}) = q^*(\tilde{p}) \geq 0

) et est nul pour

\tilde{p} = \bar{C}_{\min}

(la firme est indifférente entre ouvrir et ne pas ouvrir).

Vérification : à $\tilde{p} = 4{,}47 = \bar{C}_{\min}$ , profit $\approx 0$ . ✓ Le surplus de 40 € représente le gain de la boulangerie au-delà du seuil de rentabilité.

$\mathrm{SP}(6) = 40$ €, représenté par l'aire au-dessus de la courbe d'offre et sous $p = 6$ €.

Application guidée

Calculer le surplus de la ferme agricole ( $q^*(p) = 4p - 12$ pour $p \geq 9{,}32$ €/kg) à $\tilde{p} = 15$ €.

Application autonome 1

Pour la pizzeria ( $q^*(p) = 20p - 40$ pour $p \geq 4$ €), calculer le surplus à $\tilde{p} = 7$ € et interpréter.

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En calculant l'aire au-dessus de la courbe d'offre et sous le prix de marché : SP(p~)=∫0p~q∗(p) dp\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \int_0^{\tilde{p}} q^*(p)\,\mathrm{d}pSP(p~​)=∫0p~​​q∗(p)dp

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant l'aire au-dessus de la courbe d'offre et sous le prix de marché : $\mathrm{SP}(\tilde{p}) = \int_0^{\tilde{p}} q^*(p)\,\mathrm{d}p$