En vérifiant la condition d'ouverture : $c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)$ , équivalente à $\Pi(p, q^+) \geq 0$

Décider si une entreprise doit ouvrir (produire une quantité positive) ou rester fermée, en comparant le profit attendu en cas d'ouverture au profit nul de la fermeture.

L'objectif

Décider si une entreprise doit ouvrir (produire une quantité positive) ou rester fermée, en comparant le profit attendu en cas d'ouverture au profit nul de la fermeture.

Le principe

Il est optimal d'ouvrir la firme si et seulement si en $q^+$ les coûts marginaux excèdent les coûts moyens ( $c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)$ ), ce qui est équivalent à $\Pi(p, q^+) = q^+(c(q^+) - \bar{C}(q^+)) \geq 0$ .

La méthode

1
Déterminer $q^+$ , la quantité optimale en cas d'ouverture (solution de $c(q^+) = p$ sur la partie croissante — voir M2).
2
Calculer le profit en cas d'ouverture : $\Pi(p, q^+) = pq^+ - C(q^+)$ . On peut aussi le réécrire comme $\Pi(p, q^+) = q^+ [c(q^+) - \bar{C}(q^+)] = q^+ [p - \bar{C}(q^+)]$ .
3
Appliquer la règle de décision : si $\Pi(p, q^+) \geq 0$ , la firme ouvre et produit $q^+$ . Si $\Pi(p, q^+) < 0$ , la firme reste fermée ( $q^* = 0$ ) car la non-ouverture donne un profit nul supérieur au profit négatif de l'ouverture.
4
Relier à la courbe de coût moyen : la firme ouvre si $p \geq \bar{C}(q^+)$ , c'est-à-dire si le prix est au moins égal au coût moyen à la quantité optimale. Le seuil absolu est $p \geq \bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q})$ (minimum du coût moyen).

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Exercice d'exemple

La boulangerie ( $C(q) = 50 + q^2/10$ , $\bar{C}_{\min} \approx 4{,}47$ €) doit-elle ouvrir si $p = 6$ € ? Si $p = 3$ € ?

Étape 1 —

Déterminer

q^+

, la quantité optimale en cas d'ouverture (solution de

c(q^+) = p

sur la partie croissante — voir M2).

Pour $p = 6$ € : $q^+ = 30$ baguettes (de M2).

Étape 2 —

Calculer le profit en cas d'ouverture :

\Pi(p, q^+) = pq^+ - C(q^+)

. On peut aussi le réécrire comme

\Pi(p, q^+) = q^+ [c(q^+) - \bar{C}(q^+)] = q^+ [p - \bar{C}(q^+)]

Profit à $p = 6$ € : $\Pi(6, 30) = 6 \times 30 - 50 - 900/10 = 180 - 50 - 90 = 40 > 0$ .

Étape 3 —

Appliquer la règle de décision : si

\Pi(p, q^+) \geq 0

, la firme ouvre et produit

q^+

. Si

\Pi(p, q^+) < 0

, la firme reste fermée (

q^* = 0

) car la non-ouverture donne un profit nul supérieur au profit négatif de l'ouverture.

$\Pi > 0$ : la boulangerie ouvre et produit 30 baguettes. Vérification : $\bar{C}(30) = 50/30 + 3 \approx 4{,}67$ €/baguette < 6 € = $p$ . ✓

Étape 4 —

Relier à la courbe de coût moyen : la firme ouvre si

p \geq \bar{C}(q^+)

, c'est-à-dire si le prix est au moins égal au coût moyen à la quantité optimale. Le seuil absolu est

p \geq \bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q})

(minimum du coût moyen).

Pour $p = 3$ € : $q^+ = 15$ baguettes, $\Pi(3, 15) = 3 \times 15 - 50 - 225/10 = 45 - 50 - 22{,}5 = -27{,}5 < 0$ . La boulangerie ne doit pas ouvrir car $3 < \bar{C}_{\min} \approx 4{,}47$ €.

À $p = 6$ € : ouvre et produit 30 baguettes (profit = 40 €). À $p = 3$ € : reste fermée ( $p < \bar{C}_{\min}$ ).

Application guidée

La ferme agricole ( $C(q) = 80 + 3q + q^2/8$ , $\bar{C}_{\min} \approx 9{,}32$ €/kg) doit-elle ouvrir à $p = 8$ € ? À $p = 12$ € ?

Application autonome 1

Une usine d'aluminium a $C(q) = 500 + 10q + q^2/4$ (€, $q$ en tonnes). Le prix de marché est $p = 30$ €/tonne. Décision d'ouverture ?

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En vérifiant la condition d'ouverture : c(q+)≥Cˉ(q+)c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)c(q+)≥Cˉ(q+), équivalente à Π(p,q+)≥0\Pi(p, q^+) \geq 0Π(p,q+)≥0

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En vérifiant la condition d'ouverture : $c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)$ , équivalente à $\Pi(p, q^+) \geq 0$