En vérifiant la condition d'ouverture : c(q^+) ≥ bar C (q^+), équivalente à Pi(p, q^+) ≥ 0 | MetMat

Comment décider si une entreprise doit ouvrir sa production ?

En vérifiant la condition d'ouverture : $c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)$ , équivalente à $\Pi(p, q^+) \geq 0$

Décider si une entreprise doit ouvrir (produire une quantité positive) ou rester fermée, en comparant le profit attendu en cas d'ouverture au profit nul de la fermeture.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La boulangerie ( $C(q) = 50 + q^2/10$ , $\bar{C}_{\min} \approx 4{,}47$ €) doit-elle ouvrir si $p = 6$ € ? Si $p = 3$ € ?

L'objectif

Décider si une entreprise doit ouvrir (produire une quantité positive) ou rester fermée, en comparant le profit attendu en cas d'ouverture au profit nul de la fermeture.

Le principe

Il est optimal d'ouvrir la firme si et seulement si en $q^+$ les coûts marginaux excèdent les coûts moyens ( $c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)$ ), ce qui est équivalent à $\Pi(p, q^+) = q^+(c(q^+) - \bar{C}(q^+)) \geq 0$ .

La méthode

1
Déterminer $q^+$ , la quantité optimale en cas d'ouverture (solution de $c(q^+) = p$ sur la partie croissante — voir M2).
Comment déterminer la quantité produite optimale d'une entreprise à prix donné ?Voir
2
Calculer le profit en cas d'ouverture : $\Pi(p, q^+) = pq^+ - C(q^+)$ . On peut aussi le réécrire comme $\Pi(p, q^+) = q^+ [c(q^+) - \bar{C}(q^+)] = q^+ [p - \bar{C}(q^+)]$ .
3
Appliquer la règle de décision : si $\Pi(p, q^+) \geq 0$ , la firme ouvre et produit $q^+$ . Si $\Pi(p, q^+) < 0$ , la firme reste fermée ( $q^* = 0$ ) car la non-ouverture donne un profit nul supérieur au profit négatif de l'ouverture.
4
Relier à la courbe de coût moyen : la firme ouvre si $p \geq \bar{C}(q^+)$ , c'est-à-dire si le prix est au moins égal au coût moyen à la quantité optimale. Le seuil absolu est $p \geq \bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q})$ (minimum du coût moyen).
Comment représenter la structure de coûts d'une entreprise ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

La boulangerie ( $C(q) = 50 + q^2/10$ , $\bar{C}_{\min} \approx 4{,}47$ €) doit-elle ouvrir si $p = 6$ € ? Si $p = 3$ € ?

Étape 1 —

Déterminer

q^+

, la quantité optimale en cas d'ouverture (solution de

c(q^+) = p

sur la partie croissante — voir M2).

Pour $p = 6$ € : $q^+ = 30$ baguettes (de M2).

Étape 2 —

Calculer le profit en cas d'ouverture :

\Pi(p, q^+) = pq^+ - C(q^+)

. On peut aussi le réécrire comme

\Pi(p, q^+) = q^+ [c(q^+) - \bar{C}(q^+)] = q^+ [p - \bar{C}(q^+)]

Profit à $p = 6$ € : $\Pi(6, 30) = 6 \times 30 - 50 - 900/10 = 180 - 50 - 90 = 40 > 0$ .

Étape 3 —

Appliquer la règle de décision : si

\Pi(p, q^+) \geq 0

, la firme ouvre et produit

q^+

. Si

\Pi(p, q^+) < 0

, la firme reste fermée (

q^* = 0

) car la non-ouverture donne un profit nul supérieur au profit négatif de l'ouverture.

$\Pi > 0$ : la boulangerie ouvre et produit 30 baguettes. Vérification : $\bar{C}(30) = 50/30 + 3 \approx 4{,}67$ €/baguette < 6 € = $p$ . ✓

Étape 4 —

Relier à la courbe de coût moyen : la firme ouvre si

p \geq \bar{C}(q^+)

, c'est-à-dire si le prix est au moins égal au coût moyen à la quantité optimale. Le seuil absolu est

p \geq \bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q})

(minimum du coût moyen).

Pour $p = 3$ € : $q^+ = 15$ baguettes, $\Pi(3, 15) = 3 \times 15 - 50 - 225/10 = 45 - 50 - 22{,}5 = -27{,}5 < 0$ . La boulangerie ne doit pas ouvrir car $3 < \bar{C}_{\min} \approx 4{,}47$ €.

À $p = 6$ € : ouvre et produit 30 baguettes (profit = 40 €). À $p = 3$ € : reste fermée ( $p < \bar{C}_{\min}$ ).

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment décider si une entreprise doit ouvrir sa production ?

En vérifiant la condition d'ouverture : c(q+)≥Cˉ(q+)c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)c(q+)≥Cˉ(q+), équivalente à Π(p,q+)≥0\Pi(p, q^+) \geq 0Π(p,q+)≥0

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant la condition d'ouverture : $c(q^+) \geq \bar{C}(q^+)$ , équivalente à $\Pi(p, q^+) \geq 0$