En identifiant le minimum des coûts moyens comme point d'intersection des courbes de coûts marginaux et moyens | MetMat

Comment représenter la structure de coûts d'une entreprise ?

En identifiant le minimum des coûts moyens comme point d'intersection des courbes de coûts marginaux et moyens

Trouver la quantité $\bar{q}$ qui minimise le coût moyen et interpréter ce point comme intersection des courbes $c(q)$ et $\bar{C}(q)$ .

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour la boulangerie avec $C(q) = 50 + q^2/10$ , trouver la quantité $\bar{q}$ qui minimise le coût moyen.

L'objectif

Trouver la quantité $\bar{q}$ qui minimise le coût moyen et interpréter ce point comme intersection des courbes $c(q)$ et $\bar{C}(q)$ .

Le principe

Le coût moyen $\bar{C}(q)$ est minimisé exactement là où il est égal au coût marginal $c(q)$ ; en dessous de ce point $c < \bar{C}$ (chaque unité supplémentaire fait baisser la moyenne), au-dessus $c > \bar{C}$ (chaque unité supplémentaire fait monter la moyenne).

La méthode

1
Écrire $\bar{C}(q) = C(q)/q$ et $c(q) = C'(q)$ . Calculer la dérivée de $\bar{C}$ : $\bar{C}'(q) = [c(q) - \bar{C}(q)]/q$ .
2
Poser $\bar{C}'(\bar{q}) = 0$ , ce qui donne l'équation $c(\bar{q}) = \bar{C}(\bar{q})$ . Résoudre cette équation pour trouver $\bar{q}$ .
3
Vérifier que c'est bien un minimum : pour $q < \bar{q}$ , on a $c(q) < \bar{C}(q)$ donc $\bar{C}$ décroît ; pour $q > \bar{q}$ , on a $c(q) > \bar{C}(q)$ donc $\bar{C}$ croît.
4
Calculer la valeur minimale du coût moyen : $\bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})$ . Ce point correspond au seuil de rentabilité minimal pour la firme (elle doit obtenir au moins ce prix pour couvrir tous ses coûts).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Pour la boulangerie avec $C(q) = 50 + q^2/10$ , trouver la quantité $\bar{q}$ qui minimise le coût moyen.

Étape 1 —

Écrire

\bar{C}(q) = C(q)/q

c(q) = C'(q)

. Calculer la dérivée de

\bar{C}

\bar{C}'(q) = [c(q) - \bar{C}(q)]/q

$\bar{C}(q) = 50/q + q/10$ , $c(q) = q/5$ . Dérivée : $\bar{C}'(q) = -50/q^2 + 1/10$ .

Étape 2 —

Poser

\bar{C}'(\bar{q}) = 0

, ce qui donne l'équation

c(\bar{q}) = \bar{C}(\bar{q})

. Résoudre cette équation pour trouver

\bar{q}

Poser $\bar{C}'(\bar{q}) = 0$ : $-50/\bar{q}^2 + 1/10 = 0 \Rightarrow \bar{q}^2 = 500 \Rightarrow \bar{q} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \approx 22{,}4$ baguettes.

Étape 3 —

Vérifier que c'est bien un minimum : pour

q < \bar{q}

, on a

c(q) < \bar{C}(q)

donc

\bar{C}

décroît ; pour

q > \bar{q}

, on a

c(q) > \bar{C}(q)

donc

\bar{C}

croît.

Vérifier l'intersection : $c(\bar{q}) = \bar{q}/5 = 10\sqrt{5}/5 = 2\sqrt{5}$ ; $\bar{C}(\bar{q}) = 50/(10\sqrt{5}) + 10\sqrt{5}/10 = 5/\sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ . ✓

Étape 4 —

Calculer la valeur minimale du coût moyen :

\bar{C}_{\min} = \bar{C}(\bar{q}) = c(\bar{q})

. Ce point correspond au seuil de rentabilité minimal pour la firme (elle doit obtenir au moins ce prix pour couvrir tous ses coûts).

Valeur minimale : $\bar{C}_{\min} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ €/baguette. En dessous de ce prix, la boulangerie ne peut pas couvrir tous ses coûts et ne devrait pas ouvrir.

$\bar{q} = 10\sqrt{5} \approx 22{,}4$ baguettes, $\bar{C}_{\min} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ €/baguette.

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