Comment calculer la somme d'une… : En écrivant u_n = a_ n+1 - a_n et en… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment calculer la somme d'une série télescopique ?

En écrivant $u_n = a_{n+1} - a_n$ et en simplifiant la somme partielle

Calculer la somme d'une série télescopique en exploitant la simplification des sommes partielles.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$ .

L'objectif

Calculer la somme d'une série télescopique en exploitant la simplification des sommes partielles.

Le principe

Si $u_n = a_{n+1} - a_n$ , la somme partielle $\sum_{k=0}^{N} u_k$ se télescope en $a_{N+1} - a_0$ ; la série converge si et seulement si $(a_n)$ admet une limite finie.

La méthode

1
Je décompose $u_n$ sous la forme $u_n = a_{n+1} - a_n$ (par exemple via une décomposition en éléments simples).
2
J'écris la somme partielle $S_N = \sum_{k=0}^{N} u_k = \sum_{k=0}^{N}(a_{k+1} - a_k)$ et je simplifie : tous les termes intermédiaires s'annulent, il reste $S_N = a_{N+1} - a_0$ .
3
J'étudie la limite de $a_{N+1}$ quand $N \to +\infty$ pour conclure sur la convergence.
4
Si la limite existe et vaut $\ell$ , je conclus $\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \ell - a_0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$ .

Étape 1 —

Je décompose

u_n

sous la forme

u_n = a_{n+1} - a_n

(par exemple via une décomposition en éléments simples).

Décomposition en éléments simples : $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$ , donc $u_n = a_n - a_{n+1}$ avec $a_n = 1/n$ (j'ai un signe global $-$ par rapport à la forme $a_{n+1}-a_n$ ).

Étape 2 —

J'écris la somme partielle

S_N = \sum_{k=0}^{N} u_k = \sum_{k=0}^{N}(a_{k+1} - a_k)

et je simplifie : tous les termes intermédiaires s'annulent, il reste

S_N = a_{N+1} - a_0

$S_N = \sum_{n=1}^{N}\bigl(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\bigr) = 1 - \dfrac{1}{N+1}$ après simplification télescopique.

Étape 3 —

J'étudie la limite de

a_{N+1}

quand

N \to +\infty

pour conclure sur la convergence.

Quand $N \to +\infty$ , $\dfrac{1}{N+1} \to 0$ , donc $S_N \to 1$ .

Étape 4 —

Si la limite existe et vaut

\ell

, je conclus

\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \ell - a_0

Donc $\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)} = 1$ .

$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)} = 1$ .

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Comment calculer la somme d'une série télescopique ?

En écrivant un=an+1−anu_n = a_{n+1} - a_nun​=an+1​−an​ et en simplifiant la somme partielle

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $u_n = a_{n+1} - a_n$ et en simplifiant la somme partielle