Comment utiliser la convergence… : En comparant u_n à 1/n^alpha et en… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment utiliser la convergence des séries de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ ?

En comparant $u_n$ à $1/n^\alpha$ et en concluant via $\alpha > 1$

Conclure sur la nature d'une série à termes positifs en se ramenant à une série de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ .

L'objectif

Conclure sur la nature d'une série à termes positifs en se ramenant à une série de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ .

Le principe

La série $\sum 1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ; on combine ce résultat avec un équivalent ou une majoration pour conclure.

La méthode

1
Je vérifie la positivité de $u_n$ à partir d'un certain rang.
2
Je détermine $\alpha$ tel que $u_n \sim \dfrac{C}{n^\alpha}$ (avec $C > 0$ ) ou $u_n \leq \dfrac{C}{n^\alpha}$ , par factorisation du terme dominant.
3
Je compare $\alpha$ à $1$ : si $\alpha > 1$ , la série de Riemann converge ; si $\alpha \leq 1$ , elle diverge.
4
Je conclus sur la nature de $\sum u_n$ par comparaison ou équivalence avec la série de Riemann.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ .

Étape 1 —

Je vérifie la positivité de

u_n

à partir d'un certain rang.

Pour $n \geq 1$ , $u_n = 1/\sqrt{n} > 0$ .

Étape 2 —

Je détermine

\alpha

tel que

u_n \sim \dfrac{C}{n^\alpha}

(avec

C > 0

) ou

u_n \leq \dfrac{C}{n^\alpha}

, par factorisation du terme dominant.

On a directement $u_n = \dfrac{1}{n^{1/2}}$ , donc $\alpha = 1/2$ .

Étape 3 —

Je compare

\alpha

1

: si

\alpha > 1

, la série de Riemann converge ; si

\alpha \leq 1

, elle diverge.

Comme $\alpha = 1/2 \leq 1$ , la série de Riemann $\sum 1/n^{1/2}$ diverge.

Étape 4 —

Je conclus sur la nature de

\sum u_n

par comparaison ou équivalence avec la série de Riemann.

Donc $\sum 1/\sqrt{n}$ diverge.

La série diverge.

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Pour comprendre, fais des exercices !

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