Comment utiliser les croissances comparées avec $o$ et $\sim$ ?

En réécrivant les hiérarchies $\ln \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!$ en termes de négligeabilité

Comparer asymptotiquement deux suites combinant logarithmes, puissances, exponentielles et factorielles.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Comparer asymptotiquement $u_n = (\ln n)^3$ et $v_n = n$ .

L'objectif

Comparer asymptotiquement deux suites combinant logarithmes, puissances, exponentielles et factorielles.

Le principe

Pour tout $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ et tout $a > 1$ : $(\ln n)^\beta = o(n^\alpha)$ , $n^\alpha = o(a^n)$ et $a^n = o(n!)$ ; ces relations s'enchaînent par transitivité.

La méthode

1
J'identifie dans l'expression la nature de chaque terme : logarithme, puissance, exponentielle ou factorielle.
2
J'applique la hiérarchie $(\ln n)^\beta \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!$ pour établir les relations de négligeabilité entre les termes.
3
Je conclus avec la notation $o(\cdot)$ ou $\sim$ adaptée, en utilisant éventuellement la transitivité de $o$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Comparer asymptotiquement $u_n = (\ln n)^3$ et $v_n = n$ .

Étape 1 —

J'identifie dans l'expression la nature de chaque terme : logarithme, puissance, exponentielle ou factorielle.

J'identifie un logarithme à la puissance et une puissance entière de $n$ .

Étape 2 —

J'applique la hiérarchie

(\ln n)^\beta \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!

pour établir les relations de négligeabilité entre les termes.

D'après la hiérarchie, $(\ln n)^\beta = o(n^\alpha)$ pour tous $\alpha, \beta > 0$ , en particulier pour $\beta = 3$ et $\alpha = 1$ .

Étape 3 —

Je conclus avec la notation

o(\cdot)

ou

\sim

adaptée, en utilisant éventuellement la transitivité de

o

.

Donc $(\ln n)^3 = o(n)$ .

$(\ln n)^3 = o(n)$ .

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Comment utiliser les croissances comparées avec ooo et ∼\sim∼ ?

En réécrivant les hiérarchies ln⁡≪nα≪an≪n!\ln \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!ln≪nα≪an≪n! en termes de négligeabilité

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment utiliser les croissances comparées avec $o$ et $\sim$ ?

En réécrivant les hiérarchies $\ln \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!$ en termes de négligeabilité