Comment construire numériquement… : En calculant X̄ₙ et Sₙ sur… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment construire numériquement un intervalle de confiance asymptotique en Python ?

En calculant X̄ₙ et Sₙ sur l'échantillon, puis en utilisant le quantile de N(0,1) via scipy.stats.norm.ppf

Approfondissement — Construire en Python un intervalle de confiance asymptotique de niveau $1 - \\alpha$ pour la moyenne d'une loi à partir d'un échantillon i.i.d.

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Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Sondage : sur $n = 1000$ personnes, on observe une fréquence empirique $\bar X_n = 0{,}52$ d'intentions de vote. Construire un intervalle de confiance à $95\,\%$ pour $p$ .

L'objectif

Approfondissement — Construire en Python un intervalle de confiance asymptotique de niveau $1 - \\alpha$ pour la moyenne d'une loi à partir d'un échantillon i.i.d.

Le principe

Pour un échantillon i.i.d. $(X_1, \ldots, X_n)$ d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ , le TCL donne $\sqrt{n}\,(\bar X_n - \mu)/S_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ , d'où l'intervalle asymptotique $\bigl[\bar X_n - z_{1-\alpha/2} S_n/\sqrt{n}\,,\, \bar X_n + z_{1-\alpha/2} S_n/\sqrt{n}\bigr]$ où $z_{1-\alpha/2}$ est le quantile fourni par scipy.stats.norm.ppf(1 - alpha/2).

La méthode

1
Je dispose de l'échantillon X (tableau numpy) et je fixe le niveau de confiance $1 - \alpha$ (souvent $0{,}95$ , donc $\alpha = 0{,}05$ ).
2
Je calcule $\bar X_n$ = X.mean() et l'écart-type empirique $S_n$ = X.std(ddof=1) (estimateur sans biais de $\sigma$ ).
3
Je récupère le quantile $z_{1-\alpha/2}$ avec from scipy.stats import norm; z = norm.ppf(1 - alpha/2).
4
Je construis la demi-largeur $h = z \cdot S_n / \sqrt{n}$ et l'intervalle [X̄ - h, X̄ + h], puis je l'interprète : avec une probabilité asymptotique $1 - \alpha$ , $\mu$ appartient à cet intervalle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Sondage : sur $n = 1000$ personnes, on observe une fréquence empirique $\bar X_n = 0{,}52$ d'intentions de vote. Construire un intervalle de confiance à $95\,\%$ pour $p$ .

Étape 1 —

Je dispose de l'échantillon X (tableau numpy) et je fixe le niveau de confiance

1 - \alpha

(souvent

0{,}95

, donc

\alpha = 0{,}05

Je simule un échantillon réaliste correspondant à ces données :

import numpy as np
np.random.seed(0)
X = np.random.binomial(1, 0.52, 1000)
alpha = 0.05

Étape 2 —

Je calcule

\bar X_n

= X.mean() et l'écart-type empirique

S_n

= X.std(ddof=1) (estimateur sans biais de

\sigma

Je calcule les statistiques :

Xbar = X.mean()
Sn = X.std(ddof=1)
n = len(X)
print(Xbar, Sn)  # ex: 0.512 0.500

Étape 3 —

Je récupère le quantile

z_{1-\alpha/2}

avec from scipy.stats import norm; z = norm.ppf(1 - alpha/2).

Je récupère le quantile :

from scipy.stats import norm
z = norm.ppf(1 - alpha/2)
print(z)  # 1.95996...

Étape 4 —

Je construis la demi-largeur

h = z \cdot S_n / \sqrt{n}

et l'intervalle [X̄ - h, X̄ + h], puis je l'interprète : avec une probabilité asymptotique

1 - \alpha

\mu

appartient à cet intervalle.

Je calcule l'intervalle :

h = z * Sn / np.sqrt(n)
IC = (Xbar - h, Xbar + h)
print(IC)  # ex: (0.481, 0.543)

Avec une probabilité asymptotique de $0{,}95$ , $p$ appartient à $[0{,}481\,;\, 0{,}543]$ .

L'intervalle de confiance asymptotique à $95\,\%$ est environ $[0{,}48\,;\, 0{,}54]$ : on ne peut pas conclure que $p > 1/2$ .

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