Approfondissement — Comparer empiriquement le biais et la dispersion de plusieurs estimateurs d'un même paramètre à l'aide de simulations de Monte-Carlo.
On veut estimer la moyenne d'une loi . Comparer la moyenne empirique et la médiane empirique pour , par simulations.
Approfondissement — Comparer empiriquement le biais et la dispersion de plusieurs estimateurs d'un même paramètre à l'aide de simulations de Monte-Carlo.
On simule jeux de données i.i.d. de taille , on calcule chaque estimateur sur le -ième jeu, puis on étudie la moyenne empirique des (biais) et leur dispersion (variance) en traçant l'histogramme avec matplotlib.pyplot.hist.
On veut estimer la moyenne d'une loi . Comparer la moyenne empirique et la médiane empirique pour , par simulations.
Je fixe les paramètres :
import numpy as np
lam, n, K = 2, 30, 5000
Je calcule les deux estimateurs sur jeux :
T_moy = np.empty(K)
T_med = np.empty(K)
for k in range(K):
X = np.random.poisson(lam, n)
T_moy[k] = X.mean()
T_med[k] = np.median(X)
Je calcule les biais et variances :
print(T_moy.mean()-lam, T_moy.var()) # ex: ~0 ~0.067
print(T_med.mean()-lam, T_med.var()) # ex: ~-0.06 ~0.10
La moyenne empirique est sans biais et de variance plus faible que la médiane.
Je trace les histogrammes superposés :
import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(T_moy, bins=30, density=True, alpha=0.5, label='moyenne')
plt.hist(T_med, bins=30, density=True, alpha=0.5, label='médiane')
plt.axvline(lam, color='red', linestyle='--')
plt.legend(); plt.show()
L'histogramme de la moyenne est plus resserré autour de : c'est le meilleur estimateur ici.
La moyenne empirique a un biais quasi nul et une variance d'environ : c'est un meilleur estimateur de que la médiane empirique.
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