Comment classer un point… : En calculant les valeurs propres de… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment classer un point critique (extremum local ou point col) à l'aide des valeurs propres de la hessienne ?

En calculant les valeurs propres de $\nabla^2 f(x_0,y_0)$ et en lisant leurs signes

Déterminer la nature (minimum local, maximum local ou point col) d'un point critique d'une fonction $\mathcal{C}^2$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Classer le point critique $(0,0)$ de $f\colon (x,y)\mapsto x^2+y^2$ .

L'objectif

Déterminer la nature (minimum local, maximum local ou point col) d'un point critique d'une fonction $\mathcal{C}^2$ .

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $U$ et $(x_0,y_0)\in U$ est un point critique, alors lorsque les valeurs propres de $\nabla^2 f(x_0,y_0)$ sont strictement de même signe, $f$ admet un extremum local strict (min si $>0$ , max si $<0$ ), et lorsqu'elles sont strictement de signes opposés, $(x_0,y_0)$ est un point col.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur l'ouvert $U$ et que $(x_0,y_0)$ est bien un point critique.
2
Je calcule les dérivées partielles d'ordre $2$ et j'écris la hessienne $\nabla^2 f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\partial_{1,1}^2 f & \partial_{1,2}^2 f\\\partial_{2,1}^2 f & \partial_{2,2}^2 f\end{pmatrix}$ évaluée en $(x_0,y_0)$ .
Comment écrire la matrice hessienne d'une fonction de deux variables ?Voir
3
Je calcule les deux valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$ de cette matrice symétrique (par le polynôme caractéristique ou trace/déterminant).
Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?Voir
4
Je conclus selon les signes : $\lambda_1,\lambda_2>0\Rightarrow$ minimum local strict ; $\lambda_1,\lambda_2<0\Rightarrow$ maximum local strict ; $\lambda_1\lambda_2<0\Rightarrow$ point col ; cas avec une valeur propre nulle : on ne conclut pas par cette méthode.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Classer le point critique $(0,0)$ de $f\colon (x,y)\mapsto x^2+y^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur l'ouvert

U

et que

(x_0,y_0)

est bien un point critique.

$f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ , et $(0,0)$ est l'unique point critique.

Étape 2 —

Je calcule les dérivées partielles d'ordre

2

et j'écris la hessienne

\nabla^2 f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\partial_{1,1}^2 f & \partial_{1,2}^2 f\\\partial_{2,1}^2 f & \partial_{2,2}^2 f\end{pmatrix}

évaluée en

(x_0,y_0)

$\partial_{1,1}^2 f=2$ , $\partial_{2,2}^2 f=2$ , $\partial_{1,2}^2 f=0$ , donc $\nabla^2 f(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule les deux valeurs propres

\lambda_1,\lambda_2

de cette matrice symétrique (par le polynôme caractéristique ou trace/déterminant).

La matrice est diagonale donc ses valeurs propres sont $\lambda_1=\lambda_2=2$ .

Étape 4 —

Je conclus selon les signes :

\lambda_1,\lambda_2>0\Rightarrow

minimum local strict ;

\lambda_1,\lambda_2<0\Rightarrow

maximum local strict ;

\lambda_1\lambda_2<0\Rightarrow

point col ; cas avec une valeur propre nulle : on ne conclut pas par cette méthode.

$\lambda_1>0$ et $\lambda_2>0$ , donc $f$ admet un minimum local strict en $(0,0)$ .

$(0,0)$ est un minimum local (et global) strict, $f(0,0)=0$ .

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Comment classer un point critique (extremum local ou point col) à l'aide des valeurs propres de la hessienne ?

En calculant les valeurs propres de ∇2f(x0,y0)\nabla^2 f(x_0,y_0)∇2f(x0​,y0​) et en lisant leurs signes

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant les valeurs propres de $\nabla^2 f(x_0,y_0)$ et en lisant leurs signes