Comment discuter le nombre de… : En analysant la forme échelonnée du… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment discuter le nombre de solutions d'un système linéaire ?

En analysant la forme échelonnée du système (paramètres, rang) pour distinguer unique/infinité/aucune solution

Déterminer, éventuellement selon un paramètre, la nature de l'ensemble des solutions d'un système linéaire.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y=1 \\ x+my=2 \end{cases}$ .

L'objectif

Déterminer, éventuellement selon un paramètre, la nature de l'ensemble des solutions d'un système linéaire.

Le principe

Un système linéaire de $n$ inconnues admet soit une unique solution, soit une infinité, soit aucune solution, selon la forme échelonnée : si chaque inconnue admet un pivot et aucune équation n'est impossible, la solution est unique ; si une équation du type $0=c$ avec $c\neq 0$ apparaît, il n'y a pas de solution ; sinon l'ensemble des solutions est paramétré par les inconnues non pivots.

La méthode

1
J'applique la méthode du pivot de Gauss pour échelonner le système, en traitant les paramètres avec précaution (on ne divise que par des quantités non nulles).
Comment résoudre un système linéaire par pivot de Gauss ?Voir
2
J'examine la forme échelonnée : je repère les éventuelles équations $0=c$ et je compte le nombre $r$ de pivots (rang) par rapport au nombre $n$ d'inconnues.
3
Je conclus : une équation $0=c$ avec $c\neq 0$ donne aucune solution ; sinon $r=n$ donne une unique solution et $r<n$ donne une infinité paramétrée par $n-r$ inconnues libres.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y=1 \\ x+my=2 \end{cases}$ .

Étape 1 —

J'applique la méthode du pivot de Gauss pour échelonner le système, en traitant les paramètres avec précaution (on ne divise que par des quantités non nulles).

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $(m-1)y=1$ .

Étape 2 —

J'examine la forme échelonnée : je repère les éventuelles équations

0=c

et je compte le nombre

r

de pivots (rang) par rapport au nombre

n

d'inconnues.

Si $m\neq 1$ , deux pivots : rang $2$ en $2$ inconnues. Si $m=1$ , le système devient $0=1$ , équation impossible.

Étape 3 —

Je conclus : une équation

0=c

avec

c\neq 0

donne aucune solution ; sinon

r=n

donne une unique solution et

r<n

donne une infinité paramétrée par

n-r

inconnues libres.

Si $m\neq 1$ : unique solution $y=\frac{1}{m-1}$ et $x=1-y=\frac{m-2}{m-1}$ . Si $m=1$ : aucune solution.

Unique solution $\left(\frac{m-2}{m-1},\frac{1}{m-1}\right)$ si $m\neq 1$ , aucune solution si $m=1$ .

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