Comment appliquer la formule… : En utilisant un SCE (A_i) et P(B)=sum… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En utilisant un SCE $(A_i)$ et $P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)$

Calculer $P(B)$ en décomposant $B$ selon un système complet d'événements.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une maladie touche 2 % de la population. Un test donne un positif dans 95 % des cas chez les malades et 3 % chez les sains. Probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?

L'objectif

Calculer $P(B)$ en décomposant $B$ selon un système complet d'événements.

Le principe

Si $(A_i)_{1\le i\le n}$ est un SCE avec $P(A_i)\ne 0$ pour tout $i$ , alors $P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ .

La méthode

1
Je choisis un système complet d'événements $(A_i)_{1\le i\le n}$ adapté au problème (souvent issu de la première étape de l'expérience).
2
Je vérifie les hypothèses : les $A_i$ sont deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$ , et $P(A_i)\ne 0$ pour tout $i$ .
3
Je calcule les probabilités $P(A_i)$ et les conditionnelles $P_{A_i}(B)$ (lecture d'arbre, énoncé).
4
J'applique $P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ et je simplifie.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Une maladie touche 2 % de la population. Un test donne un positif dans 95 % des cas chez les malades et 3 % chez les sains. Probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?

Étape 1 —

Je choisis un système complet d'événements

(A_i)_{1\le i\le n}

adapté au problème (souvent issu de la première étape de l'expérience).

SCE : $M$ = « malade » et $\overline{M}$ = « sain ».

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses : les

A_i

sont deux à deux incompatibles, de réunion

\Omega

, et

P(A_i)\ne 0

pour tout

i

$M\cap\overline{M}=\emptyset$ , $M\cup\overline{M}=\Omega$ , $P(M)=0{,}02>0$ , $P(\overline{M})=0{,}98>0$ .

Étape 3 —

Je calcule les probabilités

P(A_i)

et les conditionnelles

P_{A_i}(B)

(lecture d'arbre, énoncé).

$P_M(+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(+)=0{,}03$ .

Étape 4 —

J'applique

P(B)=\sum_{i=1}^n P_{A_i}(B)\,P(A_i)

et je simplifie.

$P(+)=0{,}95\times 0{,}02+0{,}03\times 0{,}98=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484$ .

$P(+)=0{,}0484$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En utilisant un SCE (Ai)(A_i)(Ai​) et P(B)=∑PAi(B)P(Ai)P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)P(B)=∑PAi​​(B)P(Ai​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant un SCE $(A_i)$ et $P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)$