Comment calculer la probabilité… : En appliquant P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer la probabilité d'une union (formule de Poincaré) ?

En appliquant $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (extension à 3)

Calculer la probabilité d'une réunion d'événements quelconques, même non incompatibles.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On tire une carte d'un jeu de 32. Soit $R$ = « roi » et $H$ = « cœur ». Calculer $P(R\cup H)$ .

L'objectif

Calculer la probabilité d'une réunion d'événements quelconques, même non incompatibles.

Le principe

Pour tous événements $A,B$ : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; pour trois événements, on ajoute les intersections 2 à 2 (avec signe $-$ ) et l'intersection triple (signe $+$ ).

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $A,B$ (et $C$ ) sont des événements de $\Omega$ fini muni d'une probabilité $P$ .
2
Je calcule $P(A)$ , $P(B)$ (et $P(C)$ ) ainsi que les probabilités des intersections $P(A\cap B)$ (et $P(A\cap C)$ , $P(B\cap C)$ , $P(A\cap B\cap C)$ ).
3
J'applique la formule de Poincaré : à 2 événements $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , à 3 événements $P(A\cup B\cup C)=\sum P(A_i)-\sum_{i<j} P(A_i\cap A_j)+P(A\cap B\cap C)$ .
4
Je simplifie et je vérifie que le résultat appartient à $[0,1]$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On tire une carte d'un jeu de 32. Soit $R$ = « roi » et $H$ = « cœur ». Calculer $P(R\cup H)$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

A,B

(et

C

) sont des événements de

\Omega

fini muni d'une probabilité

P

$R$ et $H$ sont bien deux événements de $\Omega$ (jeu de 32 cartes, équiprobabilité).

Étape 2 —

Je calcule

P(A)

P(B)

(et

P(C)

) ainsi que les probabilités des intersections

P(A\cap B)

(et

P(A\cap C)

P(B\cap C)

P(A\cap B\cap C)

$P(R)=4/32=1/8$ , $P(H)=8/32=1/4$ , $P(R\cap H)=1/32$ (roi de cœur).

Étape 3 —

J'applique la formule de Poincaré : à 2 événements

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

, à 3 événements

P(A\cup B\cup C)=\sum P(A_i)-\sum_{i<j} P(A_i\cap A_j)+P(A\cap B\cap C)

$P(R\cup H)=1/8+1/4-1/32=4/32+8/32-1/32=11/32$ .

Étape 4 —

Je simplifie et je vérifie que le résultat appartient à

[0,1]

$11/32\in[0,1]$ : cohérent.

$P(R\cup H)=\dfrac{11}{32}$ .

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Comment calculer la probabilité d'une union (formule de Poincaré) ?

En appliquant P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) (extension à 3)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (extension à 3)