Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Établir l'indépendance de deux événements par la relation produit.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré. $A$ = « pair », $B$ = « $\ge 4$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

L'objectif

Établir l'indépendance de deux événements par la relation produit.

Le principe

Deux événements $A,B$ sont indépendants (pour $P$ ) ssi $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ ; de façon équivalente, si $P(A)\ne 0$ , ssi $P_A(B)=P(B)$ .

La méthode

1
Je calcule $P(A)$ et $P(B)$ à partir du modèle.
2
Je calcule $P(A\cap B)$ directement (dénombrement, formule, énoncé).
3
Je compare $P(A\cap B)$ et $P(A)\,P(B)$ .
4
Je conclus : si égalité, $A$ et $B$ sont indépendants ; sinon, ils sont dépendants (et je précise la nature du lien si demandé).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré. $A$ = « pair », $B$ = « $\ge 4$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Étape 1 —

Je calcule

P(A)

et

P(B)

à partir du modèle.

$P(A)=3/6=1/2$ et $P(B)=3/6=1/2$ .

Étape 2 —

Je calcule

P(A\cap B)

directement (dénombrement, formule, énoncé).

$A\cap B=\{4,6\}$ donc $P(A\cap B)=2/6=1/3$ .

Étape 3 —

Je compare

P(A\cap B)

et

P(A)\,P(B)

.

$P(A)P(B)=1/4$ , différent de $1/3$ .

Étape 4 —

Je conclus : si égalité,

A

et

B

sont indépendants ; sinon, ils sont dépendants (et je précise la nature du lien si demandé).

$1/3\ne 1/4$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

$A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

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Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

En vérifiant P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$