Comment appliquer la formule de Bayes ?

En appliquant $P_B(A_i)=\frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$

Calculer la probabilité d'une « cause » $A_i$ sachant un « effet » observé $B$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Maladie : $P(M)=0{,}02$ . Test positif : $P_M(+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(+)=0{,}03$ . Sachant que le test est positif, probabilité d'être malade ?

L'objectif

Calculer la probabilité d'une « cause » $A_i$ sachant un « effet » observé $B$ .

Le principe

Si $(A_i)_{1\le i\le n}$ est un SCE avec $P(A_i)>0$ et $P(B)>0$ , alors $P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{\sum_{k=1}^n P_{A_k}(B)P(A_k)}$ .

La méthode

1
J'identifie le SCE $(A_i)$ des causes possibles et l'événement $B$ observé.
2
Je vérifie que $P(A_i)>0$ pour tout $i$ et que $P(B)>0$ .
3
Je calcule $P(B)$ par la formule des probabilités totales $P(B)=\sum_k P_{A_k}(B)P(A_k)$ .
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
4
J'applique la formule de Bayes : $P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Maladie : $P(M)=0{,}02$ . Test positif : $P_M(+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(+)=0{,}03$ . Sachant que le test est positif, probabilité d'être malade ?

Étape 1 —

J'identifie le SCE

(A_i)

des causes possibles et l'événement

B

observé.

SCE des causes : $M$ et $\overline{M}$ ; événement observé : $+$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

P(A_i)>0

pour tout

i

et que

P(B)>0

.

$P(M)=0{,}02>0$ , $P(\overline{M})=0{,}98>0$ , $P(+)>0$ (à calculer).

Étape 3 —

Je calcule

P(B)

par la formule des probabilités totales

P(B)=\sum_k P_{A_k}(B)P(A_k)

.

$P(+)=0{,}95\times 0{,}02+0{,}03\times 0{,}98=0{,}0484$ .

Étape 4 —

J'applique la formule de Bayes :

P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}

.

$P_+(M)=\dfrac{0{,}95\times 0{,}02}{0{,}0484}=\dfrac{0{,}019}{0{,}0484}\approx 0{,}393$ .

$P_+(M)\approx 0{,}393$ .

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Comment appliquer la formule de Bayes ?

En appliquant PB(Ai)=PAi(B)P(Ai)P(B)P_B(A_i)=\frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}PB​(Ai​)=P(B)PAi​​(B)P(Ai​)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P_B(A_i)=\frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$