Comment effectuer une… : En posant u et v' et en appliquant… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment effectuer une intégration par parties ?

En posant $u$ et $v'$ et en appliquant $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$

Calculer une intégrale d'un produit de fonctions en dérivant l'un des facteurs et en primitivant l'autre.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I = \int_0^1 t\,e^t\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Calculer une intégrale d'un produit de fonctions en dérivant l'un des facteurs et en primitivant l'autre.

Le principe

Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
Je choisis $u$ (facteur qui se simplifie par dérivation, ex : $\ln$ , polynôme) et $v'$ (facteur facile à primitiver, ex : $e^t$ , $\cos$ , $t^n$ ).
2
Je vérifie que $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , puis je calcule $u'$ et $v$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ ?Voir
3
J'applique la formule : $\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v$ .
4
Je calcule le crochet $\big[uv\big]_a^b$ puis l'intégrale restante, et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $I = \int_0^1 t\,e^t\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je choisis

u

(facteur qui se simplifie par dérivation, ex :

\ln

, polynôme) et

v'

(facteur facile à primitiver, ex :

e^t

\cos

t^n

Je pose $u(t)=t$ (se simplifie par dérivation) et $v'(t)=e^t$ (facile à primitiver).

Étape 2 —

Je vérifie que

u

v

sont de classe

\mathcal{C}^1

sur

[a,b]

, puis je calcule

u'

v

$u$ et $v$ sont $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ , $u'(t)=1$ et $v(t)=e^t$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v

$I = \big[te^t\big]_0^1 - \int_0^1 1\cdot e^t\,\mathrm{d}t = \big[te^t\big]_0^1 - \big[e^t\big]_0^1$ .

Étape 4 —

Je calcule le crochet

\big[uv\big]_a^b

puis l'intégrale restante, et je conclus.

$I = (1\cdot e - 0) - (e-1) = 1$ .

$I = 1$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment effectuer une intégration par parties ?

En posant uuu et v′v'v′ et en appliquant ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v∫ab​uv′=[uv]ab​−∫ab​u′v

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $u$ et $v'$ et en appliquant $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$