Comment effectuer un changement… : En posant t=varphi(u) C^1 strictement… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment effectuer un changement de variable $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

En posant $t=\varphi(u)$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone, $\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$

Transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple à l'aide d'un changement de variable de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple à l'aide d'un changement de variable de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone.

Le principe

Si $\varphi : [\alpha,\beta] \to [a,b]$ est de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone avec $\varphi(\alpha)=a$ , $\varphi(\beta)=b$ , et si $f$ est continue sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ .

La méthode

1
Je pose le changement $t=\varphi(u)$ en identifiant $\varphi$ via la structure de l'intégrande (par exemple $t = u^2$ , $t = \ln u$ , $t = e^u$ ).
2
Je vérifie que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et strictement monotone sur l'intervalle de travail, puis j'écris $\mathrm{d}t = \varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
3
Je transforme les bornes : je cherche $\alpha$ et $\beta$ tels que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ .
4
Je réécris l'intégrale sous la forme $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ et je la calcule (souvent via primitive).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je pose le changement

t=\varphi(u)

en identifiant

\varphi

via la structure de l'intégrande (par exemple

t = u^2

t = \ln u

t = e^u

Je pose $t = \varphi(u) = u^2$ pour faire disparaître la racine.

Étape 2 —

Je vérifie que

\varphi

est de classe

\mathcal{C}^1

et strictement monotone sur l'intervalle de travail, puis j'écris

\mathrm{d}t = \varphi'(u)\,\mathrm{d}u

$\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ et strictement croissante sur $[0,1]$ , et $\mathrm{d}t = 2u\,\mathrm{d}u$ .

Étape 3 —

Je transforme les bornes : je cherche

\alpha

\beta

tels que

\varphi(\alpha)=a

\varphi(\beta)=b

Bornes : $t=0 \Leftrightarrow u=0$ et $t=1 \Leftrightarrow u=1$ .

Étape 4 —

Je réécris l'intégrale sous la forme

\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\varphi'(u)\,\mathrm{d}u

et je la calcule (souvent via primitive).

$I = \int_0^1 \frac{2u}{1+u}\,\mathrm{d}u = \int_0^1 \left(2 - \frac{2}{1+u}\right)\mathrm{d}u = \big[2u - 2\ln(1+u)\big]_0^1 = 2 - 2\ln 2$ .

$I = 2 - 2\ln 2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment effectuer un changement de variable C1\mathcal{C}^1C1 strictement monotone ?

En posant t=φ(u)t=\varphi(u)t=φ(u) C1\mathcal{C}^1C1 strictement monotone, dt=φ′(u) du\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}udt=φ′(u)du

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment effectuer un changement de variable $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

En posant $t=\varphi(u)$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone, $\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$