Comment approcher une racine de… : En bissectant itérativement… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment approcher une racine de f(x)=0 par dichotomie ?

En bissectant itérativement l'intervalle [a, b] jusqu'à ce que b - a < ε

Obtenir une valeur approchée à $\varepsilon$ près d'une racine de $f$ sur $[a, b]$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Approcher à $10^{-4}$ près la racine de $f(x) = x^2 - 2$ sur $[1, 2]$ .

L'objectif

Obtenir une valeur approchée à $\varepsilon$ près d'une racine de $f$ sur $[a, b]$ .

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a)f(b) \leq 0$ , le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'une racine dans $[a, b]$ ; la dichotomie divise l'intervalle par $2$ à chaque étape.

La méthode

1
Je vérifie mathématiquement les hypothèses : $f$ continue sur $[a, b]$ et $f(a)f(b) \leq 0$ , puis je fixe la précision $\varepsilon > 0$ .
2
J'écris une boucle while b - a >= eps: et je calcule le milieu m = (a + b) / 2.
3
Selon le signe de $f(a) \cdot f(m)$ , je remplace $b$ par $m$ (si le produit est négatif ou nul) ou $a$ par $m$ sinon.
4
À la sortie de la boucle, je renvoie le milieu (a + b) / 2 comme valeur approchée de la racine.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Approcher à $10^{-4}$ près la racine de $f(x) = x^2 - 2$ sur $[1, 2]$ .

Étape 1 —

Je vérifie mathématiquement les hypothèses :

f

continue sur

[a, b]

f(a)f(b) \leq 0

, puis je fixe la précision

\varepsilon > 0

$f$ est continue sur $[1, 2]$ , $f(1) = -1 < 0$ et $f(2) = 2 > 0$ , donc $f(a)f(b) < 0$ . Je pose eps = 1e-4.

Étape 2 —

J'écris une boucle while b - a >= eps: et je calcule le milieu m = (a + b) / 2.

J'écris la boucle while b - a >= eps: et je calcule m = (a+b)/2.

Étape 3 —

Selon le signe de

f(a) \cdot f(m)

, je remplace

b

par

m

(si le produit est négatif ou nul) ou

a

par

m

sinon.

Je teste le signe de $f(a) \cdot f(m)$ pour mettre à jour $a$ ou $b$ .

Étape 4 —

À la sortie de la boucle, je renvoie le milieu (a + b) / 2 comme valeur approchée de la racine.

Je renvoie $(a+b)/2 \approx \sqrt{2}$ .

def f(x):
    return x**2 - 2

a, b, eps = 1.0, 2.0, 1e-4
while b - a >= eps:
    m = (a + b) / 2
    if f(a) * f(m) <= 0:
        b = m
    else:
        a = m
print((a + b) / 2)

La racine approchée vaut $\approx 1{,}4142$ , soit $\sqrt{2}$ .

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