Comment simplifier une fraction ? : En divisant numérateur et dénominateur par leur plus… — 5e | MetMat

Comment simplifier une fraction ?

En divisant numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun (obtenu par décomposition en facteurs premiers)

Réduire une fraction à sa forme irréductible en la divisant par le PGCD du numérateur et du dénominateur.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simplifier la fraction $\frac{36}{48}$ .

L'objectif

Réduire une fraction à sa forme irréductible en la divisant par le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Le principe

Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux ; en divisant numérateur et dénominateur par ce PGCD, on obtient la fraction irréductible.

La méthode

1
Décomposer le numérateur $a$ et le dénominateur $b$ en produit de facteurs premiers.
Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?Voir
2
Identifier les facteurs premiers communs et calculer le PGCD $(a, b)$ en multipliant les facteurs communs avec les plus petits exposants.
3
Diviser numérateur et dénominateur par le PGCD : $\frac{a}{b} = \frac{a \div \mathrm{PGCD}}{b \div \mathrm{PGCD}}$ .
4
Vérifier que la fraction obtenue est bien irréductible (numérateur et dénominateur sans diviseur commun autre que 1).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simplifier la fraction $\frac{36}{48}$ .

Étape 1 —

Décomposer le numérateur

a

et le dénominateur

b

en produit de facteurs premiers.

$36 = 2^2 \times 3^2$ et $48 = 2^4 \times 3$ .

Étape 2 —

Identifier les facteurs premiers communs et calculer le PGCD

(a, b)

en multipliant les facteurs communs avec les plus petits exposants.

Facteurs communs : $2^2$ et $3^1$ , donc $\mathrm{PGCD}(36, 48) = 2^2 \times 3 = 12$ .

Étape 3 —

Diviser numérateur et dénominateur par le PGCD :

\frac{a}{b} = \frac{a \div \mathrm{PGCD}}{b \div \mathrm{PGCD}}

$\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$ .

Étape 4 —

Vérifier que la fraction obtenue est bien irréductible (numérateur et dénominateur sans diviseur commun autre que 1).

$\mathrm{PGCD}(3, 4) = 1$ : la fraction $\frac{3}{4}$ est bien irréductible.

$\frac{36}{48} = \frac{3}{4}$

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