Comment utiliser la réciproque de la… : En vérifiant que M est le milieu d'un côté et… — 4e | MetMat

Comment utiliser la réciproque de la droite des milieux ?

En vérifiant que $M$ est le milieu d'un côté et que $MN \parallel$ au côté opposé, puis en concluant que $N$ est le milieu du second côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ le côté opposé

Conclure qu'un point est le milieu d'un côté en utilisant la réciproque du théorème des milieux.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $MN \parallel BC$ avec $N$ sur $[AC]$ . On sait que $BC = 10$ cm. Montrer que $N$ est le milieu de $[AC]$ et calculer $MN$ .

L'objectif

Conclure qu'un point est le milieu d'un côté en utilisant la réciproque du théorème des milieux.

Le principe

Si $M$ est le milieu d'un côté d'un triangle et que $MN$ est parallèle au côté opposé, alors $N$ est le milieu du troisième côté et $MN = \frac{1}{2}$ du côté opposé.

La méthode

1
Identifie le triangle et ses sommets.
2
Vérifie que $M$ est le milieu d'un côté (par exemple $AM = MB$ ).
3
Vérifie que $MN$ est parallèle au côté opposé (par exemple $MN \parallel BC$ ).
4
Énonce la réciproque : « $M$ est le milieu de $[AB]$ et $MN \parallel BC$ , donc $N$ est le milieu de $[AC]$ ».
5
Calcule la longueur : $MN = \frac{1}{2} \times BC$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $MN \parallel BC$ avec $N$ sur $[AC]$ . On sait que $BC = 10$ cm. Montrer que $N$ est le milieu de $[AC]$ et calculer $MN$ .

Étape 1 —

Identifie le triangle et ses sommets.

Le triangle est $ABC$ .

Étape 2 —

Vérifie que

M

est le milieu d'un côté (par exemple

AM = MB

$M$ est le milieu de $[AB]$ (donné).

Étape 3 —

Vérifie que

MN

est parallèle au côté opposé (par exemple

MN \parallel BC

$MN \parallel BC$ avec $N$ sur $[AC]$ (donné).

Étape 4 —

Énonce la réciproque : «

M

est le milieu de

[AB]

MN \parallel BC

, donc

N

est le milieu de

[AC]

».

D'après la réciproque du théorème des milieux, $N$ est le milieu de $[AC]$ .

Étape 5 —

Calcule la longueur :

MN = \frac{1}{2} \times BC

$MN = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ cm.

$N$ est le milieu de $[AC]$ et $MN = 5$ cm.

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Comment utiliser la réciproque de la droite des milieux ?

En vérifiant que MMM est le milieu d'un côté et que MN∥MN \parallelMN∥ au côté opposé, puis en concluant que NNN est le milieu du second côté et MN=12×MN = \frac{1}{2} \timesMN=21​× le côté opposé

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $M$ est le milieu d'un côté et que $MN \parallel$ au côté opposé, puis en concluant que $N$ est le milieu du second côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ le côté opposé