Comment construire l'image d'un point… : En utilisant la propriété du parallélogramme… — 4e | MetMat

Comment construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation ?

En utilisant la propriété du parallélogramme : $A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ si et seulement si $ABB'A'$ est un parallélogramme

Construire l'image $A'$ d'un point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ en utilisant la propriété que $ABB'A'$ est un parallélogramme.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $B(1 ; 0)$ et $B'(3 ; 2)$ . Construire $A'$ , l'image de $A(0 ; 2)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ .

L'objectif

Construire l'image $A'$ d'un point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ en utilisant la propriété que $ABB'A'$ est un parallélogramme.

Le principe

$A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ si et seulement si $ABB'A'$ est un parallélogramme (c'est-à-dire $[AB]$ et $[A'B']$ ont le même milieu, ou bien $AA' \parallel BB'$ et $AA' = BB'$ ).

La méthode

1
Repère les points $B$ et $B'$ qui définissent le vecteur de translation $\overrightarrow{BB'}$ , ainsi que le point $A$ à translater.
2
Trace le segment $[BB']$ (le vecteur de translation).
3
À partir de $A$ , trace une droite parallèle à $(BB')$ dans le même sens.
4
Reporte la longueur $BB'$ à partir de $A$ sur cette droite parallèle : le point obtenu est $A'$ .
5
Vérifie que $ABB'A'$ est bien un parallélogramme : les diagonales $[AB']$ et $[BA']$ doivent avoir le même milieu.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On donne $B(1 ; 0)$ et $B'(3 ; 2)$ . Construire $A'$ , l'image de $A(0 ; 2)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ .

Étape 1 —

Repère les points

B

B'

qui définissent le vecteur de translation

\overrightarrow{BB'}

, ainsi que le point

A

à translater.

On identifie $B(1 ; 0)$ , $B'(3 ; 2)$ et $A(0 ; 2)$ . Le vecteur $\overrightarrow{BB'}$ a pour composantes $(3-1 ; 2-0) = (2 ; 2)$ .

Étape 2 —

Trace le segment

[BB']

(le vecteur de translation).

On trace le segment $[BB']$ de $(1 ; 0)$ à $(3 ; 2)$ .

Étape 3 —

À partir de

A

, trace une droite parallèle à

(BB')

dans le même sens.

À partir de $A(0 ; 2)$ , on trace une direction parallèle à $\overrightarrow{BB'}$ .

Étape 4 —

Reporte la longueur

BB'

à partir de

A

sur cette droite parallèle : le point obtenu est

A'

On reporte les composantes $(2 ; 2)$ depuis $A$ : $A'(0+2 ; 2+2) = A'(2 ; 4)$ .

Étape 5 —

Vérifie que

ABB'A'

est bien un parallélogramme : les diagonales

[AB']

[BA']

doivent avoir le même milieu.

Vérification : milieu de $[AB'] = \left(\frac{0+3}{2} ; \frac{2+2}{2}\right) = (1{,}5 ; 2)$ et milieu de $[BA'] = \left(\frac{1+2}{2} ; \frac{0+4}{2}\right) = (1{,}5 ; 2)$ . C'est bien un parallélogramme.

$A'(2 ; 4)$ et $ABB'A'$ est un parallélogramme.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation ?

En utilisant la propriété du parallélogramme : A′A'A′ est l'image de AAA par la translation de vecteur BB′→\overrightarrow{BB'}BB′ si et seulement si ABB′A′ABB'A'ABB′A′ est un parallélogramme

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant la propriété du parallélogramme : $A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ si et seulement si $ABB'A'$ est un parallélogramme