Comment déterminer si deux vecteurs… : En montrant que ABDC est un parallélogramme (si… — 3e | MetMat

Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?

En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )

Montrer que deux vecteurs sont égaux en prouvant que les quatre points forment un parallélogramme.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ , $D(5\,;\,4)$ , $C(2\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

L'objectif

Montrer que deux vecteurs sont égaux en prouvant que les quatre points forment un parallélogramme.

Le principe

Quatre points $A$ , $B$ , $D$ , $C$ forment un parallélogramme $ABDC$ (dans cet ordre) si et seulement si les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu. Dans ce cas, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

La méthode

1
Identifier les quatre points : l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ correspond au parallélogramme $ABDC$ (attention à l'ordre).
2
Calculer le milieu $I$ de la diagonale $[AD]$ : $I = \left(\frac{x_A + x_D}{2}\,;\,\frac{y_A + y_D}{2}\right)$ .
3
Calculer le milieu $J$ de la diagonale $[BC]$ : $J = \left(\frac{x_B + x_C}{2}\,;\,\frac{y_B + y_C}{2}\right)$ .
4
Si $I = J$ , conclure que $ABDC$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ , $D(5\,;\,4)$ , $C(2\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Étape 1 —

Identifier les quatre points : l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

correspond au parallélogramme

ABDC

(attention à l'ordre).

On cherche à montrer que $ABDC$ est un parallélogramme.

Étape 2 —

Calculer le milieu

I

de la diagonale

[AD]

I = \left(\frac{x_A + x_D}{2}\,;\,\frac{y_A + y_D}{2}\right)

Milieu de $[AD]$ : $I = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{1+4}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

Étape 3 —

Calculer le milieu

J

de la diagonale

[BC]

J = \left(\frac{x_B + x_C}{2}\,;\,\frac{y_B + y_C}{2}\right)

Milieu de $[BC]$ : $J = \left(\frac{4+2}{2}\,;\,\frac{2+3}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

Étape 4 —

I = J

, conclure que

ABDC

est un parallélogramme, donc

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

$I = J$ , donc $ABDC$ est un parallélogramme, ce qui prouve que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

$ABDC$ est un parallélogramme (les diagonales ont le même milieu $\left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ ), donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?

En montrant que ABDCABDCABDC est un parallélogramme (si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}AB=DC)

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )