Comment déterminer si deux vecteurs… : En vérifiant qu'ils ont même direction, même… — 3e | MetMat

Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?

En vérifiant qu'ils ont même direction, même sens et même norme

Déterminer si deux vecteurs sont égaux en comparant leur direction, leur sens et leur norme.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Sur un quadrillage, $A(0\,;\,0)$ , $B(2\,;\,1)$ , $C(3\,;\,2)$ , $D(5\,;\,3)$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils égaux ?

L'objectif

Déterminer si deux vecteurs sont égaux en comparant leur direction, leur sens et leur norme.

Le principe

Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ils ont la même direction (droites parallèles ou confondues), le même sens et la même norme ( $AB = CD$ ).

La méthode

1
Vérifier que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (même direction).
2
Vérifier qu'ils vont dans le même sens (de $A$ vers $B$ et de $C$ vers $D$ dans la même direction).
3
Vérifier qu'ils ont la même norme : $AB = CD$ .
4
Conclure : si les trois conditions sont vérifiées, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ; sinon ils sont différents.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Sur un quadrillage, $A(0\,;\,0)$ , $B(2\,;\,1)$ , $C(3\,;\,2)$ , $D(5\,;\,3)$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils égaux ?

Étape 1 —

Vérifier que les droites

(AB)

(CD)

sont parallèles (même direction).

Les vecteurs ont les mêmes coordonnées $(2\,;\,1)$ , donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Étape 2 —

Vérifier qu'ils vont dans le même sens (de

A

vers

B

et de

C

vers

D

dans la même direction).

Les deux vecteurs vont vers le haut et la droite : même sens.

Étape 3 —

Vérifier qu'ils ont la même norme :

AB = CD

$AB = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ et $CD = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ : même norme.

Étape 4 —

Conclure : si les trois conditions sont vérifiées,

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

; sinon ils sont différents.

Les trois conditions sont remplies, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ : ils ont même direction, même sens et même norme $\sqrt{5}$ .

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