Comment utiliser les propriétés de… : En appliquant que la rotation conserve les… — 3e | MetMat

Comment utiliser les propriétés de conservation d'une rotation ?

En appliquant que la rotation conserve les longueurs, les angles et les aires pour calculer des grandeurs sur la figure image

Utiliser les propriétés de conservation de la rotation pour calculer ou justifier des égalités de longueurs, d'angles ou d'aires.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le triangle $ABC$ a une aire de $12\,\mathrm{cm}^2$ et est transformé par une rotation. Quelle est l'aire du triangle image $A'B'C'$ ?

L'objectif

Utiliser les propriétés de conservation de la rotation pour calculer ou justifier des égalités de longueurs, d'angles ou d'aires.

Le principe

Une rotation est une isométrie : elle conserve les distances (donc les longueurs de segments), les mesures des angles et les aires des figures. La figure image est donc congruente à la figure de départ.

La méthode

1
Identifier la figure de départ et sa rotation : repérer les points homologues (les paires $M$ et $M'$ correspondantes).
2
Appliquer la conservation des longueurs : pour deux points quelconques $M$ et $N$ de la figure de départ, $M'N' = MN$ .
3
Appliquer la conservation des angles : pour trois points $M$ , $N$ , $P$ de la figure de départ, $\widehat{M'N'P'} = \widehat{MNP}$ .
4
Appliquer la conservation des aires : $\mathcal{A}(\text{figure image}) = \mathcal{A}(\text{figure de départ})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Le triangle $ABC$ a une aire de $12\,\mathrm{cm}^2$ et est transformé par une rotation. Quelle est l'aire du triangle image $A'B'C'$ ?

Étape 1 —

Identifier la figure de départ et sa rotation : repérer les points homologues (les paires

M

M'

correspondantes).

Les sommets homologues sont $(A, A')$ , $(B, B')$ , $(C, C')$ .

Étape 2 —

Appliquer la conservation des longueurs : pour deux points quelconques

M

N

de la figure de départ,

M'N' = MN

La rotation conserve les longueurs, mais aucune n'est demandée ici.

Étape 3 —

Appliquer la conservation des angles : pour trois points

M

N

P

de la figure de départ,

\widehat{M'N'P'} = \widehat{MNP}

La rotation conserve les angles, mais aucun n'est demandé ici.

Étape 4 —

Appliquer la conservation des aires :

\mathcal{A}(\text{figure image}) = \mathcal{A}(\text{figure de départ})

La rotation conserve les aires, donc $\mathcal{A}(A'B'C') = \mathcal{A}(ABC) = 12\,\mathrm{cm}^2$ .

L'aire du triangle $A'B'C'$ est $12\,\mathrm{cm}^2$ .

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