Comment rendre une fraction… : En divisant le numérateur et le dénominateur… — 3e | MetMat

Comment rendre une fraction irréductible ?

En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD

Obtenir la forme irréductible d'une fraction en une seule division par le PGCD.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Rends la fraction $\dfrac{48}{36}$ irréductible.

L'objectif

Obtenir la forme irréductible d'une fraction en une seule division par le PGCD.

Le principe

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible si et seulement si $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$ . En divisant $a$ et $b$ par leur PGCD, on obtient directement la fraction irréductible équivalente.

La méthode

1
Identifier le numérateur $a$ et le dénominateur $b$ de la fraction.
2
Calculer $d = \mathrm{PGCD}(a, b)$ (par décomposition en facteurs premiers ou par l'algorithme d'Euclide).
Comment trouver le PGCD de deux entiers ?Voir
3
Diviser le numérateur et le dénominateur par $d$ : la fraction irréductible est $\dfrac{a \div d}{b \div d}$ .
4
Vérifier que le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur sont premiers entre eux (leur PGCD vaut 1).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Rends la fraction $\dfrac{48}{36}$ irréductible.

Étape 1 —

Identifier le numérateur

a

et le dénominateur

b

de la fraction.

Le numérateur est $48$ et le dénominateur est $36$ .

Étape 2 —

Calculer

d = \mathrm{PGCD}(a, b)

(par décomposition en facteurs premiers ou par l'algorithme d'Euclide).

$48 = 2^4 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$ , donc $\mathrm{PGCD}(48, 36) = 2^2 \times 3 = 12$ .

Étape 3 —

Diviser le numérateur et le dénominateur par

d

: la fraction irréductible est

\dfrac{a \div d}{b \div d}

On divise : $\dfrac{48 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{4}{3}$ .

Étape 4 —

Vérifier que le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur sont premiers entre eux (leur PGCD vaut 1).

$\mathrm{PGCD}(4, 3) = 1$ : la fraction est bien irréductible.

$\dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3}$

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