Comment factoriser avec les identités… : En reconnaissant a^2 pm 2ab + b^2 = (a pm b)^2 — 3e | MetMat

Comment factoriser avec les identités remarquables ?

En reconnaissant $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

Factoriser un trinôme qui est le développement d'un carré en reconnaissant la forme $a^2 + 2ab + b^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2$ .

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Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Factoriser $x^2 + 6x + 9$ .

L'objectif

Factoriser un trinôme qui est le développement d'un carré en reconnaissant la forme $a^2 + 2ab + b^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2$ .

Le principe

Si l'expression est de la forme $a^2 + 2ab + b^2$ , elle se factorise en $(a+b)^2$ . Si elle est de la forme $a^2 - 2ab + b^2$ , elle se factorise en $(a-b)^2$ . On vérifie que le terme du milieu vaut bien $2ab$ .

La méthode

1
Identifier les deux termes carrés : $a^2$ (premier terme) et $b^2$ (dernier terme), et calculer $a = \sqrt{\text{premier terme}}$ et $b = \sqrt{\text{dernier terme}}$ .
2
Vérifier que le terme du milieu vaut $2ab$ (avec le signe $+$ ) ou $-2ab$ (avec le signe $-$ ).
3
Si le terme du milieu vaut bien $2ab$ ou $-2ab$ , écrire la forme factorisée : $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$ selon son signe.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Factoriser $x^2 + 6x + 9$ .

Étape 1 —

Identifier les deux termes carrés :

a^2

(premier terme) et

b^2

(dernier terme), et calculer

a = \sqrt{\text{premier terme}}

b = \sqrt{\text{dernier terme}}

$x^2 = (x)^2$ donc $a = x$ ; $9 = 3^2$ donc $b = 3$ .

Étape 2 —

Vérifier que le terme du milieu vaut

2ab

(avec le signe

+

) ou

-2ab

(avec le signe

-

$2ab = 2 \times x \times 3 = 6x$ : c'est bien le terme du milieu (signe $+$ ). C'est un carré parfait.

Étape 3 —

Si le terme du milieu vaut bien

2ab

-2ab

, écrire la forme factorisée :

(a+b)^2

(a-b)^2

selon son signe.

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

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Comment factoriser avec les identités remarquables ?

En reconnaissant a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2a2±2ab+b2=(a±b)2

Pour comprendre, fais des exercices !

En reconnaissant $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$