Comment montrer que deux droites sont parallèles avec les vecteurs ?

En déterminant un vecteur directeur pour chaque droite, puis en calculant leur déterminant : s'il est nul, les vecteurs directeurs sont colinéaires donc les droites sont parallèles (ou confondues)

Montrer que deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La droite $d_1$ passe par $A(0\,;\,1)$ et $B(2\,;\,3)$ . La droite $d_2$ passe par $C(1\,;\,0)$ et $D(3\,;\,2)$ . $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ?

L'objectif

Montrer que deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

Le principe

Deux droites sont parallèles (ou confondues) si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.

La méthode

1
Déterminer un vecteur directeur $\vec{u}$ pour la première droite et un vecteur directeur $\vec{v}$ pour la deuxième droite.
Comment déterminer un vecteur directeur d'une droite ?Voir
2
Calculer le déterminant : $\det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1$ .
Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant ?Voir
3
Conclure : si $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$ , les vecteurs directeurs sont colinéaires donc les droites sont parallèles (ou confondues) ; sinon elles sont sécantes.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

La droite $d_1$ passe par $A(0\,;\,1)$ et $B(2\,;\,3)$ . La droite $d_2$ passe par $C(1\,;\,0)$ et $D(3\,;\,2)$ . $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ?

Étape 1 —

Déterminer un vecteur directeur

\vec{u}

pour la première droite et un vecteur directeur

\vec{v}

pour la deuxième droite.

Vecteur directeur de $d_1$ : $\vec{u} = \overrightarrow{AB}(2\,;\,2)$ . Vecteur directeur de $d_2$ : $\vec{v} = \overrightarrow{CD}(2\,;\,2)$ .

Étape 2 —

Calculer le déterminant :

\det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1

.

$\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 2 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

\det(\vec{u},\vec{v}) = 0

, les vecteurs directeurs sont colinéaires donc les droites sont parallèles (ou confondues) ; sinon elles sont sécantes.

Le déterminant est nul, donc $d_1$ et $d_2$ sont parallèles (ou confondues).

$d_1$ et $d_2$ sont parallèles (ou confondues).

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