Comment simplifier une fraction pour… : En décomposant en produit de facteurs premiers… — 2de | MetMat

Comment simplifier une fraction pour la rendre irréductible ?

En décomposant en produit de facteurs premiers, puis en simplifiant les facteurs communs

Simplifier une fraction en décomposant numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers pour identifier les facteurs communs.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Rendre irréductible $\frac{60}{84}$ par décomposition en facteurs premiers.

L'objectif

Simplifier une fraction en décomposant numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers pour identifier les facteurs communs.

Le principe

Tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique en produit de nombres premiers ; les facteurs communs au numérateur et au dénominateur peuvent être simplifiés.

La méthode

1
Décomposer le numérateur $a$ en produit de facteurs premiers.
2
Décomposer le dénominateur $b$ en produit de facteurs premiers.
3
Identifier les facteurs premiers communs et simplifier : barrer les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur.
4
Écrire la fraction irréductible obtenue après simplification.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Rendre irréductible $\frac{60}{84}$ par décomposition en facteurs premiers.

Étape 1 —

Décomposer le numérateur

a

en produit de facteurs premiers.

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

Étape 2 —

Décomposer le dénominateur

b

en produit de facteurs premiers.

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ .

Étape 3 —

Identifier les facteurs premiers communs et simplifier : barrer les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur.

Les facteurs communs sont $2^2 \times 3 = 12$ : $\frac{60}{84} = \frac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7}$ , on simplifie $2^2$ et $3$ .

Étape 4 —

Écrire la fraction irréductible obtenue après simplification.

$\frac{60}{84} = \frac{5}{7}$ .

$\frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

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