Comment résoudre une inéquation… : En identifiant les facteurs et leurs zéros ou… — 2de | MetMat

Comment résoudre une inéquation produit ou quotient à l'aide d'un tableau de signes ?

En identifiant les facteurs et leurs zéros ou valeurs interdites, en dressant le tableau de signes de chaque facteur, puis en déduisant ligne par ligne le signe du produit ou du quotient (règle des signes)

Résoudre une inéquation de la forme $A(x) \times B(x) \geq 0$ ou $\frac{A(x)}{B(x)} < 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $(x-2)(x+1) \geq 0$ .

L'objectif

Résoudre une inéquation de la forme $A(x) \times B(x) \geq 0$ ou $\frac{A(x)}{B(x)} < 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

Le principe

Le signe d'un produit ou d'un quotient se détermine facteur par facteur : $+\times+=+$ , $+\times-=-$ , $-\times-=+$ (et de même pour les quotients). On répertorie les changements de signe dans un tableau.

La méthode

1
Identifier tous les facteurs et, pour chacun, trouver son zéro (racine) ou sa valeur interdite (dénominateur nul).
2
Placer ces valeurs sur une ligne « $x$ » dans le tableau, puis compléter le signe de chaque facteur dans chaque intervalle.
3
Déduire ligne par ligne le signe du produit (ou quotient) en appliquant la règle des signes, en indiquant $0$ ou $\|$ aux valeurs particulières.
4
Lire les intervalles où le signe obtenu satisfait l'inéquation et écrire l'ensemble solution.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $(x-2)(x+1) \geq 0$ .

Étape 1 —

Identifier tous les facteurs et, pour chacun, trouver son zéro (racine) ou sa valeur interdite (dénominateur nul).

Les facteurs sont $(x-2)$ de racine $2$ et $(x+1)$ de racine $-1$ .

Étape 2 —

Placer ces valeurs sur une ligne «

x

» dans le tableau, puis compléter le signe de chaque facteur dans chaque intervalle.

Étape 3 —

Déduire ligne par ligne le signe du produit (ou quotient) en appliquant la règle des signes, en indiquant

0

\|

aux valeurs particulières.

Le produit est positif ou nul sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[2\,;\,+\infty[$ .

Étape 4 —

Lire les intervalles où le signe obtenu satisfait l'inéquation et écrire l'ensemble solution.

L'ensemble solution est $]-\infty\,;\,-1] \cup [2\,;\,+\infty[$ .

$\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1] \cup [2\,;\,+\infty[$

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