Cercle trigonométrique et… : Valeurs remarquables de cosinus et sinus — 1re spé maths | MetMat

Cercle trigonométrique et placement de points

Valeurs remarquables de cosinus et sinus

Retrouver les valeurs exactes de $\cos$ et $\sin$ des angles remarquables du premier quadrant.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Retrouver $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ par le calcul.

L'objectif

Retrouver les valeurs exactes de $\cos$ et $\sin$ des angles remarquables du premier quadrant.

Le principe

On utilise un triangle rectangle isocèle ou un demi-triangle équilatéral, puis le théorème de Pythagore.

La méthode

1
Je construis le triangle rectangle adapté : isocèle (pour $\dfrac{\pi}{4}$ ) ou demi-triangle équilatéral (pour $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ ).
2
J'applique le théorème de Pythagore pour déterminer les longueurs manquantes.
3
J'utilise $\cos(t) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin(t) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ pour lire les valeurs.
4
Je vérifie avec la relation $\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Retrouver $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ par le calcul.

Étape 1 —

Je construis le triangle rectangle adapté : isocèle (pour

\dfrac{\pi}{4}

) ou demi-triangle équilatéral (pour

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{3}

On considère un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse $1$ et d'angle aigu $\dfrac{\pi}{4}$ .

Étape 2 —

J'applique le théorème de Pythagore pour déterminer les longueurs manquantes.

Les deux côtés égaux valent $c$ . Par Pythagore : $c^2 + c^2 = 1$ , soit $2c^2 = 1$ , donc $c = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 3 —

J'utilise

\cos(t) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}

\sin(t) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}

pour lire les valeurs.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{c}{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{c}{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 4 —

Je vérifie avec la relation

\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1

Vérification : $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ \checkmark.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.