Calculs et identités trigonométriq… : Simplifier une expression trigonométrique — 1re spé maths | MetMat

Calculs et identités trigonométriques

Simplifier une expression trigonométrique

Simplifier une expression algébrique contenant $\cos$ et $\sin$ en utilisant les identités trigonométriques.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simplifier $A = (\cos(x) + \sin(x))^2 + (\cos(x) - \sin(x))^2$ .

L'objectif

Simplifier une expression algébrique contenant $\cos$ et $\sin$ en utilisant les identités trigonométriques.

Le principe

On remplace $\cos^2(x)$ ou $\sin^2(x)$ via $\cos^2 + \sin^2 = 1$ , on utilise les identités remarquables et on réduit.

La méthode

1
Je repère les identités applicables : $\cos^2 + \sin^2 = 1$ , angles associés, identités remarquables algébriques.
2
Je développe ou factorise selon l'objectif (remplacer $\sin^2$ par $1 - \cos^2$ , etc.).
3
Je regroupe les termes en $\cos^2$ , $\sin^2$ ou $\cos\sin$ et j'applique la relation fondamentale si un tel regroupement apparaît.
4
Je vérifie le résultat sur une valeur particulière (par exemple $x = 0$ ou $x = \dfrac{\pi}{2}$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simplifier $A = (\cos(x) + \sin(x))^2 + (\cos(x) - \sin(x))^2$ .

Étape 1 —

Je repère les identités applicables :

\cos^2 + \sin^2 = 1

, angles associés, identités remarquables algébriques.

On reconnaît deux carrés de sommes/différences. On va développer avec $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Étape 2 —

Je développe ou factorise selon l'objectif (remplacer

\sin^2

par

1 - \cos^2

, etc.).

$(\cos(x) + \sin(x))^2 = \cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)$ et $(\cos(x) - \sin(x))^2 = \cos^2(x) - 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)$ .

Étape 3 —

Je regroupe les termes en

\cos^2

\sin^2

\cos\sin

et j'applique la relation fondamentale si un tel regroupement apparaît.

$A = 2\cos^2(x) + 2\sin^2(x) = 2(\cos^2(x) + \sin^2(x)) = 2$ .

Étape 4 —

Je vérifie le résultat sur une valeur particulière (par exemple

x = 0

x = \dfrac{\pi}{2}

Vérification pour $x = 0$ : $(1+0)^2 + (1-0)^2 = 1 + 1 = 2$ \checkmark.

$A = 2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.