Utiliser la relation $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

Calculer $\cos(x)$ connaissant $\sin(x)$ (ou inversement) et l'intervalle contenant $x$ .

L'objectif

Calculer $\cos(x)$ connaissant $\sin(x)$ (ou inversement) et l'intervalle contenant $x$ .

Le principe

On injecte la valeur connue dans $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ , on résout, puis on choisit le signe grâce au quadrant.

La méthode

1
J'écris la relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .
2
Je substitue la valeur connue et j'isole le carré de l'inconnue.
3
J'extrais la racine carrée : j'obtiens deux valeurs possibles ( $\pm$ ).
4
Je détermine le bon signe grâce à l'information sur le quadrant ou l'intervalle.

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Exercice d'exemple

On sait que $\sin(x) = \dfrac{3}{5}$ et $x \in \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$ . Calculer $\cos(x)$ .

Étape 1 —

J'écris la relation fondamentale :

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .

Étape 2 —

Je substitue la valeur connue et j'isole le carré de l'inconnue.

$\cos^2(x) = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ .

Étape 3 —

J'extrais la racine carrée : j'obtiens deux valeurs possibles (

\pm

$\cos(x) = \pm\dfrac{4}{5}$ .

Étape 4 —

Je détermine le bon signe grâce à l'information sur le quadrant ou l'intervalle.

$x \in \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$ (quadrant II) donc $\cos(x) < 0$ . Ainsi $\cos(x) = -\dfrac{4}{5}$ .

$\cos(x) = -\dfrac{4}{5}$ .

Application guidée

On sait que $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $x \in ]\pi\,;2\pi[$ . Calculer $\sin(x)$ .

Application autonome 1

On sait que $\cos(x) = \dfrac{5}{13}$ et $x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ . Calculer $\sin(x)$ .

Application autonome 2

On sait que $\sin(x) = -\dfrac{4}{5}$ et $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[$ . Calculer $\cos(x)$ .

Application autonome 3

On sait que $\sin(x) = \dfrac{2}{3}$ et $x \in \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$ . Calculer $\cos(x)$ .

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